递推数列题型归纳解析(3)

专题方法总结 11 35又?a1?S1?1，a2?S2?S1??2?1??2，?b1?(?1)1a1??1，b2?(?1)2a52??2 ?b??53n2?3?(12)n?1??4?3?(12)n?12?(n?1)。 ???4?3?(1n?1a?1)n?3?(?1)n?(1n?(?1)nbn??4()n?12???2),n为奇数, ????4?3?(12)n?1,n为偶数. 类型7 an?1?pan?an?b(p?1、0，a?0) 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an?1?x(n?1)?y?p(an?xn?y)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为?an?xn?y?是公比为p的等比数列。 例:设数列?an?：a1?4,an?3an?1?2n?1,(n?2)，求an. 解：设bn?an?An?B，则an?bn?An?B，将an,an?1代入递推式，得 bn?An?B?3?bn?1?A(n?1)?B??2n?1?3bn?1?(3A?2)n?(3B?3A?1) ??A?3A?2????A?1???B?3B?3A?1?B?1 ?取bn?an?n?1…（１）则bn?3bn?1,又b1?6，故bnn?6?3n?1?2?3n代入（１）得an?2?3?n?1 每个学生都应该用的 “超级学习笔记” 专题方法总结 说明：（1）若f(n)为n的二次式，则可设bn?an?An2?Bn?C;(2)本题也可由an?3an?1?2n?1 ,an?1?3an?2?2(n?1)?1（n?3）两式相减得an?an?1?3(an?1?an?2)?2转化为bn?2?pbn?1?qbn求之. 变式:（2006，山东,文,22） 已知数列｛a1n｝中，a1?2、点（n、2an?1?an）在直线y=x上，其中n=1,2,3… (Ⅰ)令bn?an?1?an?3,求证数列?bn?是等比数列； (Ⅱ)求数列?an?的通项； (Ⅲ)设Sn、Tn分别为数列?an?、?bn?的前n项和,是否存在实数?，使得数列??Sn??Tn??为等差数列？若存在，试求出? 若不存在,则说明理由 ?n?解：（I）由已知得 a131?2,2an?1?an?n,?a4,a32?2?a1?1??1421??34? ,又bn?an?1?an?1,bn?1?an?2?an?1?1, an?1?(n?1)?an?nan?1?an?1?bn?1n?1?an?121b?a?22nan?2?an?1?1a?n?1?an?1an?1?a?2. n?1?{b31n}是以?4为首项，以2为公比的等比数列 （II）由（I）知，b34?(12)n?1n????32?12n, ?a3,?a1n?1?an?1??2?132n2?a1?1??2?2,a3?a2?1??32?122,?????? ?a1n?an?1?1??32?2n?1,将以上各式相加得： 12 每个学生都应该用的 “超级学习笔记” 专题方法总结 ?a3n?a1?(n?1)??2(12?12????12?2n?1), 1?a2(1?12n?1)n?a1?n?1?32??(n?1)?331?1?122(1?12n?1)?2n?n?2. 2?an?32n?n?2. （III）解法一：存在??2，使数列{Sn??Tnn}是等差数列 ?S1n?a1?a2?????an?3(121?122?????2n)?(1?2?????n)?2n1?1n)?3?2(12?n(n?1)1?12?2n 212?3(1?2)?n2?3nnn2??3n?32n?2?3. ?3(1?1Tn?b1?b2?????b42n)n?1??32(1?12)??33n2?2n?1. 1?2数列{Sn??Tnn}是等差数列的充要条件是Sn??Tnn?An?B,(A、B是常数) 即S2n??Tn?An?Bn, 2又Sn2?3nn??T3n??2n?n?3n2?3??(?32?32n?1)?2?3(1??2)(1?12n) ?当且仅当1??2?0，即??2时，数列{Sn??Tnn}为等差数列 解法二：存在??2，使数列{Sn??Tn}是等差数列n 由（I）（、II）知，an?2bn?n?2 n(n?1)n??Tn?Sn(n?1)n?2T?2?2nSn??Tn2?2n?2Tn?n ?n?3??22?nTn又 13 每个学生都应该用的 “超级学习笔记” 专题方法总结 14 ?Tn?b1?b2?????bn?34(1?1212n)??32(1?12)??n32?32n?1 1?Sn??Tnn数列 ?n?32???2n(?32?32)?当且仅当??2时，数列{n?1Sn??Tnn}是等差每个学生都应该用的 “超级学习笔记”