10、解析：正方体的顶点为顶点的四面体共有C84?12?58个，其中，四个面都是直角三角形的四面体只能形如图中的四面体A1?ABC，共有C． 11、(0,2)
12、解析：双曲线的一个焦点为(2,0)，即c?2，又b?1，故a?333．于是渐近线方程
4?6?22?24个，概率为
2458?1229，选
为y??x．
13、解析：|a?1|?2，得?3?a?1． 14、解析：
tan??f'(1)?2，sin2??21045，cos2???35，所以
sin(2???4)?22(sin2??cos2?)?．
15、解：① f(?x)?cos(?x?sin(?x))?cos(x?sin(?x))?cos(x?sinx)?f(x)，f(x)是偶函数，所以①不正确；② 当x??时，f(?)??1，所以②不正确； ③
所f(x?2?)?cos(x?2??sin(x?2?))?cos(x?sin(x?2?))?cos(x?sinx)?f(x)，以
③
正
确
；
④
f(??x)?cos(??x?sin(??x))??cos(x?sin(??x))??cos(x?sinx)，而 f(??x)?cos(??x?sin(??x))??cos(x?sin(??x))??cos(x?sinx)f(???x)??，即
，当0?x??时，f所以④正确；(x⑤ f'(x)??(1?cosx)sin(x?sinx)，
易知函数
g(x)?x?sinx在[0,?]为增函数，0?x?sinx??，显然，?sin(x?sinx)?0，f?(x)?0，f(x)为减函数。⑤正确． 填①②．
16、解：（Ⅰ）设“L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”的事件为A，则 ．．
13112101P(A)=C3?()?C3??()?． ……………
2222…4分
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2． ………………5分
331P(X=0)=(1?)?(1?)?，
4510
6
3339， ?(1?)?(1?)??454520339． P(X=2)=??4520P(X=1)=3
……………
…8分
随机变量X的分布列为：
X 0 110920?1?9201 27209202 920P EX?110?0? ?2?． ………………10
分
（Ⅲ）设L1巷道中堵塞点个数为Y，则随机变量Y?B(3,)，
21所以EY?3?分
12?32； ………………12
因为EX?EY，所以选择L2巷道抢险路线较好． ………………14
分
17、解：（Ⅰ）设CC1?1，则B1C1?66222，BC?2，所以B1B?66
则B1M?所以CM，BM?2632,由余弦定理可得CM?233，
C1B1M?B1M?B1C，所以，CM?B1B．
………………2分
?平面ABC易知CC，于是A1B1?CC，又A1B1?B1C，故C111111DBA1B1?平面BCCBCM?平面BCC1B1，故CM?A1B1．所以，CM?平面1，注意到1A1B1B．
……
…………4分
（Ⅱ）如图建立坐标系，设AA1?1，则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，z?????????1????????11C1(0,1,1)，AM?AB1?B1B,而B1B?(,?,?1)，
322???????????????????A1212212所以AM?(,,)，CM?AM?AC?(,,)?(0,1,0)
333333B1(11,,1)， 22C1B1yM 7
CABx
?22?(,?,)，设平面MA1A的法向量为n?(x,y,z)， 333212?2??????x?y?z?0???n?AM?0??333则??????，取x?1,y??2,z?0，则n?(1,?2,0)，由（1），????2z?0?n?A1A?0??3???????222CM?平面A1AB，而CM?(,?,)，可取m?(1,?1,1)为平面A1B1B的一个法向量，
333?????????|CM?n|335???． ………………8分 cos???????5|CM||n|35（Ⅲ）多面体体积为
VC?A1B1B?VA1?ABC?VC?A1B1C1??51211(?322?62)?233?111122(?1?1?1)?(??)?1323222．
………………12
分
注：各问如果用其它方法，也酌情赋分．
18、解：如图，海岛为O，A,B分别为渔政船和渔船起始点．设渔政船经过t小时截获该?(v2t)2?a2?(a?v1t)2?2a(a?v1t)cos60?渔船，则? ………………4分
?v1t?a2222?av1?4av2?3av12222?(v2?v1)t?av1t?a?0?t?22??2(v2?v1)????aa?t?v?t??1?v1?a A vt 2 （易知O a B v1t v2?v1）………………8分
?av1?4av2?3av12(v2?v1)222222?av1?v1?v14av2?3av1?2(v2?v1)?
22222224??3?2??3???223．………………12分
19、解：（Ⅰ）a1?S1,?a1?2。 ………………2分
Sn?12an?212an?1 ??①
8
122当n?2时，Sn?1?an?1?12an?1?1 ??②
①-②整理得(an?an?1)(an?an?1?1)?0，因为an?0，所以an?an?1?1。所以
an?n?1。 ………………6分
（Ⅱ）因为bn?2an?3所以bn?2n?1．
22bk?9?bkbr,?[2(k?9)?1]?(2k?1)(2r?1)?2r?1?[2(k?9)?1]2k?12 ………………9分
即2r?1?(2k?1?18)2k?12?(2k?1)?36(2k?1)?182k?122?(2k?1)?342k?1?2?36,22k?1?1,3,9,27,81，注意到k?2，所以，k?5,14,41，此时，r?41,38,61，所以，
所
(kr?有
,，的可能值是
………………13分 )．
?????????b??a??b?y?x，与椭圆20、解：?BM??MA,?M?，故直线OM的方程为,??a?1??1???xa22?yb22?1联立，整理得x?2?a1??222，于是，
??aC?,2?1???b?D?2?,???1??????1a?b． ………………3分 ?22???1,记dC,dD分别表示点C、D到直线AB:bx?ay?ab?0的距离，则
、
?abS1S2?dCdD??1??2?ab1??2?ab?21??1??1??1??22?1??11???1??1???1??22?ab1??2． …………
?ab1???ab……6分
S2?（Ⅰ）当??1时，1?S22?22 ………………8?3?22．
分
9
2222（Ⅱ）
S1S2?1???1??1???1???1?21???1?22(??1)2?1??11?22? ?11???1????1?1?1?22?2??1?1?22?1?3?22??1仅
2（等号成立当且当
??1）； ………………12分
另一方面，
S1S2?1?1?22??1??1S所以，1?0,3?22?．………………13?0，
?S1?122???12分
注：第（Ⅰ）问另有如下两种处理方式供评分时参考：
bxy?ab?①?A(a,0),B(0,b),?M?,?，故直线OM的方程为y?x，与椭圆2?2?1联立，
aab?22?2整理得x?222a2，于是，C???a2,b?ab??,D?,????．记dC,dD分别表示点C、D到直2?22??线AB：bx+ay-ab=0的距离，则
S1S2?dCdDb??ba2a2?a?ab2b2?ab??ab1?1?22?3?22．
bxy?ab?②?A(a,0),B(0,b),?M?,?，故直线OM的方程为y?x，与椭圆2?2?1联立，
aab?22?22整理得x?22a2，于是，
b?ab??a?C?,,D?,????2?22??2?．则
S1S2?CMDM?a?b??a?b???????2?2??2?2a?b??a?b???????2?2??2?22222 ?1?1?22?3?22．
21、解：（Ⅰ）f'(x)?alna?lna?(a?1)lna， ………………2
10
xx 分
①当a?1时，若x?(??,0)，则f'(x)?0；若x?(0,??)时，f'(x)?0； ②当0?a?1时，若x?(??,0)，则f'(x)?0；若x?(0,??)时，f'(x)?0； 所
以
，
函
数
f(x)在
(??,0)递减，在
(0,??)递
增； ………………6分
（Ⅱ）由（1）f(x)?f(0)?0，即a?xlna?1，当a?1时，取x?x1n1得an?1nlna?1，
n?N，
?…………
……8分 所以a?(1?
?1?11!lna?1(?12!n1)aln?21nlna)?Cn?C0n011nlna?Cn(21nlna)?...?Cn(2r1nlna)?....?Cn(rn1nlna)
n11r?1r?...?(1?)...(1a?r!nn11n??)ln?...?(1n!nnn1a)...(1)l
……………
…12分
a?e取即证得不
式． ………………13分
注：第（Ⅱ）问有如下处理方式，供评分时参考： 因为a?xlna?1，令a?e，则e?x?1，再令x?
xx等
1n1，则en?1?1n?e?(1?1n)........
n 11