2015年小学奥数组合问题专题——染色与覆盖
一、解答题
1.六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗?为什么？
【答案】不能。见解析
【解析】划一个5×7的方格表，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有17个黑格18个白格，个数不等，故不能办到． 2.右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.
(1)如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？
(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为什么？ 【答案】(1)在水中 (2)在岸上。见解析
【解析】（1）已知P点在陆地上，如果在图上用阴影表示陆地，就可以看出A点在水中. （2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数的和为2，由于A点在水中，所以不管怎么走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数.既然题中说“脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是个奇数”，那么B点必定在岸上.
3.某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去，问这能否办到?
【答案】不能
【解析】将5×9长方形自然染色，发现黑格的邻座都是白格，白格的邻座都是黑格，因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有23个黑格22个白格，个数不等，故不能办到．
4.右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?
【答案】不能
【解析】如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个白格，7个黑格．因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始．但路线上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍． 5.有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?
【答案】不能
【解析】如右下图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能黑格到白格或白格到黑格．入口和出口处都是白格，故路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室．
6.在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？
【答案】图1中可以回到小屋，图2中无法直接回到小木屋。
【解析】图(1)中可以回到小屋，守园人只能黑白相间地走，走到的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走到第63棵树应是白的，在小屋相邻的树都标注白色，所以可以回到小屋.图(2)不行,从小屋出发,当走到80棵树应是黑色, 而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋.
7.右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马. 众所周知，马是走“日”字的. 请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？
【答案】不能
【解析】马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个● . 因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在○点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有23+22=45（个）点，不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点.
如果马的出发点不是在○点上而是在●点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的. 但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了. 从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44点，要跳44步，44是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指○或●）. 因为44步跳过的点○与点●各22个，所以起点必是●，终点也是●. 也就说是，当不要求回到出发点时，只要从●出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点.
8.右图是由14个大小相同的方格组成的图形. 试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？
【答案】不能
【解析】将这14个小方格黑白相间染色（见右下图），有8个黑格，6个白格. 相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形.
9.右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？
【答案】不能
【解析】将40个小正方形想剪裁成20个相同的长方形，就是将图形分割成20个1×2的长方形，将其黑白相间染色后，发现有21黑，19白，黑白格数不等，而1×2的小矩形一次覆盖黑白格各一个.
10.下面的三个图形都是从4×4的正方形纸片上剪去两个1×1的小方格后得到的. 问：能否把它们分别剪成1×2的七个小矩形.
【答案】（1）能，（2）、（3）不能
【解析】
如右上图，（1）能，黑白格数相等；（2）（3）不能，黑白格数不等，而1×2的小矩形一次覆盖黑白格各一个. 11.用11个
和5个
能否盖住8×8的大正方形?
【答案】不能
【解析】如右图，对8×8正方形黑白相问染色后，发现住10白10黑．
必然盖住2白2黑，5个则盖
则盖住了3白1黑或3黑1白，从奇偶性考虑，都是奇数．而这种形
状共11个，奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加另一种形状的10白10黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格．但实际染色后共32个白格32个黑格，故不可能按题目要求盖住．本题中每个盖3白1黑或3黑1白，11个这种形状盖住的不一定是33白11黑或33黑11白，因为可能一部分盖3白1黑，另一部分盖3黑1白.这是一个容易犯错的地方. 12.能否用9个
所示的卡片拼成一个6×6的棋盘？
【答案】不能
【解析】将6×6的棋盘黑白相间染色（见右图），有18个黑格. 每张卡片盖住的黑格数不是1就是3，9张卡片盖住的黑格数之和是奇数，不可能盖住18个黑格. 13.9个1×4的长方形不能拼成一个6×6的正方形，请你说明理由！
【答案】见解析
【解析】本题若用传统的自然染色法，不能说明问题. 我们对6×6正方形用四种颜色染色，因为要用1×4来覆盖．为了方便起见，这里用1、2、3、4分别代表四种颜色．也为了使每个1×4长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如右图．这样，可以发现无论将1×4长方形放于何处，盖住的必然是1、2、3、4各一个．要不重叠地拼出6×6，需9个1×4长方形，则必然盖住1、2、3、4各9个．但实际上图中一共是9个l、10个2、9个3、8个4，因而不可能用9个1×4长方形拼出6×6正方形．
14.用若干个2×2和3×3的小正方形不能拼成一个11×11的大正方形，请你说明理由！
【答案】见解析
【解析】如右图所示，将2×2或3×3的小正方形沿格线摆在右图的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格，而阴影方格共有77个，是奇数，所以只用2×2和3×3的小正方形，不可能拼成11×11的大正方形.
15.对于表（1），每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表（2）？为什么？
【答案】不能。见解析
【解析】因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数的总和为1+2+…+9=45，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，与右上表九个数的总和是4矛盾。所以不可能变成右上表.
16.右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上.开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0.然后转动圆盘，每次可以转动90°的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数