的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上.问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？
【答案】不可能
【解析】因为每次加上的数之和是 1＋2＋3＋4=10，所以黑板上的四个数之和永远是10的整数倍. 999×4=3996，不是10的倍数，所以黑板上的四个数不可都是999.
17.有7个苹果要平均分给12个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5份．应该怎样分？ 【答案】先拿4个苹果，每个苹果3等分，每人一片；再拿3个苹果，每个苹果4等分，每人一片。
【解析】显然每人应该分
＝
+
＝+．
于是，拿4个苹果，每个苹果3等分；拿3个苹果，每个苹果4等分．
18.有一位老人，他有三个儿子和十七匹马.他在临终前对他的儿子们说：“我已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分.”老人去世后，三兄弟看到了遗嘱.遗嘱上写着：“我把十七匹马全都留给我的三个儿子.长子得，次子得，给幼子.不许流血，不许杀马.你们必须遵从父亲的遗愿！”请你帮助他们分分马吧！ 【答案】见解析
【解析】这三个兄弟迷惑不解，尽管他们在学校里学习成绩都不错，可是他们还是不会用17除以2、用17除以3、用17除以9，又不让马流血.于是他们就去请教当地一位公认的智者.这位智者看了遗嘱以后说：“我借给你们一匹马，去按你们父亲的遗愿分吧！”老人原有17匹马，加上智者借给的一匹，一共18匹.于是三兄弟按照18匹马的、和，分别得到了九匹、六匹和两匹.9+6+2=17（匹）.还剩下一匹，是智者借给的那匹，还给智者. 19.甲、乙、丙、丁分29头羊. 甲、乙、丙、丁分别得【答案】见解析
【解析】借一头羊，甲、乙、丙、丁依次分得15，6，5，3头羊，再将借得1头羊还回去. 20.8个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）? 【答案】能
【解析】将8个金币分成：3+3+2，3组，把3和3进行称量，如果重量相同，称剩下的2个金币即可找到假币；如果重量不同，将比较重的3个金币拿出，用天平称量2个，剩下1个，天平不平衡易得答案，若此时天平平衡则剩下的那个是假的.
，应如何分？
21.9个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）? 【答案】能
【解析】第一次在左右两托盘各放置3个：(一)如果不平衡，那么较轻的一侧的3个中有一个是假的．从中任取两个分别放在两托盘内：①如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；②如果平衡，剩下的一个是假的；(二)如果平衡，剩下的三个中必有一个为假的．从中任取两个分别放在两托盘内：①如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；②如果平衡，剩下的那个是假的．这类称量找假币的问题，一定要会分类，并尽量是每一类对应天平称量时的不同状态(轻，重，平)，所以分成3堆是很常见的分法．
22.据说有一天，韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁.这两个人有一只容量10斤的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只空的葫芦，罐可装7斤油，葫芦可装3斤油.要把这10斤油平分，每人5斤. 但是谁也没有带秤，只能拿手头的三个容器倒来倒去.应该怎样分呢？ 【答案】见解析
【解析】韩信给两人说了一句话：“葫芦归篓，篓归罐”，两人按此分油，果然把油分成了两半.具体做法如下表：
韩信的话指明了倒油的方向，始终按从篓向罐中倒，从罐向葫芦中倒，从葫芦向篓中倒的方向操作.按照相反的方向倒，即“葫芦归罐，罐归篓”怎样?我们试试.
看来也行，只是多倒了一次.要注意的是：保持一定的方向很重要. 如果在倒油的过程中，出现从甲倒向乙，又从乙倒回甲(这两步不一定挨着)，那么这两步相互抵消，肯定可以简化掉，所以最佳的倒油方法是始终按一个方向倒.
23.大桶能装5千克油，小桶能装4千克油，你能用这两只桶量出6千克油吗?怎么量？ 【答案】能。见解析
【解析】先将5千克的桶倒满油；再用大桶将小桶倒满，大桶中还有5-4=1(千克)油；然后将小桶倒空，将大桶中1千克倒到小桶中；最后注满大桶，连小桶中共是5+1=6(千克)．这道题要学会借助于大桶小桶容积的差量出想获得的中间量(1千克)．
24.有一个小朋友叫小满，他学会了韩信分油的方法，心里很是得意. 一天，他遇到了两位农妇. 两位农妇有两个各装满了10升奶的罐子，还有一个5升和一个4升的小桶，她们请求小满就用这些容器将罐子中的奶给两个小桶中各倒入2升奶.小满按照韩信分油的方法，略加变通，就将奶分好了！你说说具体的做法！
【答案】见解析 【解析】答案如表所示
25.老师在黑板上画了9个点，要求同学们用一笔画出一条通过这9个点的折线(只许拐三个弯儿)．你能办到吗?
【答案】能
【解析】大家开始尝试多次之后可能会得出“不可能”的结论，但是大家不要忽略一点，题中并没要求所有折线只能限定在这9个点的范围之内．我们把折线的范围冲破本题9个点所限定的正方形，那么问题就容易解决了。
26.你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？ 【答案】见解析
【解析】第一瓶拿一个药丸，第二瓶拿两个药丸，第三瓶拿三个，第四瓶拿四个，称一下比标准的10个药丸重多少，重多少就是第几个瓶子里的药丸被污染.
27.如右图所示，将1～12顺次排成一圈. 如果报出一个数a（在1～12之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置. 例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置. 问：a是多少时，可以走到7的位置？
【答案】不存在
【解析】不存在.当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a-12的位置.由上面的分析知，不论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，不会走到7的位置.
28.对于任意一个自然数 n，当 n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2，这算一次操作现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？ 【答案】不可能。见解析
【解析】同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到
这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到100，但也不能肯定得不到100.当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现100.因为这一过程很长，所以这不是好方法.因为231和121都是11的倍数，2不是11的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是11的倍数. 100不是11的倍数，所以不可能出现. 操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问题的窍门.
29.一只电动老鼠从左下图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。当这只电动老鼠又回到A点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了82次弯。如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？
【答案】甲
【解析】如右下图所示，将格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯，所以经过多少格点就转了多少次弯。如左下图所示，老鼠从黑点出发，到达任何一个黑点都转了奇数次弯，所以甲正确 .
30.如图（1），对相邻的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作.经过若干次操作后由1变成图2，则图2中A处的数是多少？
【答案】5
【解析】按图中要求操作，图3中阴影方格的数字之和与空白方格的数字之和的差不变.所以A=（1+1+1+1+1）-（0+0+0+0）=5.
31.一个大桶装了12升水，另外有恰好能装8升和5升水的桶各一个.利用这三个桶最少倒几次才能把这12升水平均分成两份? 【答案】7次
【解析】答案如表所示
32.一个正方形果园里种有48棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成七行七列（见右图）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋. 可以做到吗？
【答案】不可以
【解析】如下图所示. 守园人只能黑白相间地走，走到的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走到第48棵树应是黑的，而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋.
33.如右图，缺两格的8×8方格有62个格，能否用31个隙?
图不重复地盖住它且不留空
【答案】不能
【解析】这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一．用
来覆盖，则用黑白相
间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑．要不重复不留空白，那总共能盖住的黑格数、白格数应该相等．但从染色后整个图看，黑格30个，白格32个，故不可能将整个图不重不漏地盖住．
34.只有5升和8升的容器，要怎样量出2升的水呢? 【答案】见解析
【解析】将5升的容器装满水，倒在8升的容器中去，8升的容器中装入了5升的水，再一次将5升的容器装满水，倒在8升的容器里，这次8升的容器装不下5升的水了，只能装入3升的水。而5升的容器中就剩下2升的水了.
二、计算题
1.有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水
【答案】6次
【解析】通过对三个数字的分析，我们发现700-300-300=100，是计算步数最少的得到100的方法．而由于我们每计算一步就相当于倒一次水，所以倒水最少的方案应该是： 1．大瓶往中瓶中倒满水．
2．中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中还剩下400克水． 3．小瓶中水倒回大瓶．
4．中瓶再往小瓶中倒满水，这时中瓶中只剩下100克水，标记． 5．小瓶中水倒回大瓶．
6．中瓶中100水倒入小瓶，标记．所以最少要倒6次水．
本题关键是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然无法再往小瓶中倒水的．