20. 已知A1、A2、A3是抛物线y?1x2上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足
2为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C.
（1）如图11-1，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长；
（2）如图11-2，若将抛物线y?1x2改为抛物线y?1x2?x?1，A1、A2、A3三点的横
22坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长；
（3）若将抛物线y?1x2改为抛物线y?ax2?bx?c，A1、A2、A3三点的横坐标为连续
2整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）. 4y 6y A3 C 2A3 C
O A1 A2 A1 x 510A2 O x B1 B2 B3 B1 B2 B3 图11-2 图11-1 6
2006年全国初中数学竞赛（海南赛区）
初赛试卷参考答案
一、1. D 2. B 3. A 4. B 5. C 6. D 7. B 8. D 9. C 10. B 解答提示：
2005200520052005
1．原式=(-2)+(-2)×(-2)=(-2)×(1-2)= 2. 故选D.
2．∵ab?1, ∴N?ab?ab?a?abb?abababba????M. 故选B.
a(b?1)b(a?1)b?1a?13. 利用等式的性质求解. 选A. 例如，
●+■=▲ ●+●=▲+■ ?●+●=●+■+■ ?●=■+■ ?●+▲=■+■+■+■+■
●+■=▲ 2
4. 设此商品原价为a元，则甲超市降价后的价格为a(1-10%)=0.81a，乙超市降价后的价格为a(1-20%)=0.8a. 故在乙起市买更合算. 故选B.
5. 利用方程的解就是它对应的函数图象与x轴的交点，藉此估计一元二次方程的一个解的大致范围为：3.24＜x＜3.25 . 故选C.
y 6. 分三种情况来讨论，即：如图所示, ①以O为顶点的等腰三角形P1 有：△OP1A，△OP2A；②以A为顶点的等腰三角形是△OP3A；③以P为顶点的等腰三角形是△OP4A. 因此，满足条件的点P有4个. 7. 解法一：∵△ADE与△ADE关于直线DE轴对称，
//
∴∠AED=∠AED，∠ADE=∠ADE， ∴∠1+∠2=2×180°-（∠AEA+∠ADA）
=360°-2(∠AED+∠ADE) =360°-2(180°-∠A) =2∠A.
解法二：如图，连结AA，
/
∵△ADE与△ADE关于直线DE轴对称，
//
∴AE=AE，AD=AD，
////
∴∠EAA=∠EAA，∠DAA=∠DAA，
////
∴∠1+∠2=2∠EAA+2∠DAA=2(∠EAA+∠DAA)=2∠A.
8. 在矩形中把a、b、c分别转化为相应矩形的另外一条对角线，就会发现a、b、c均等于圆的半径. 故选D.
//
/
/
O P4 P2 P3 A D 1 AB
G D b /
x A E 2 C M c N
E H B A
a C O F
7
9. 设窗户横档的长度为x米. 则竖的边长为8?3x米，透光面积是
2 S?x?8?3x??3x2?4x??3(x?4)2?8 . 当x??b?4时，S最大=8. 选C.
222332a3310. S=1-4×1x(1-x)=2x-2x+1（0＜x＜1）. 故选B.
2
2二、11. ??x?y?27， 12. 5 13. 54 14.（2,0） 15. 2 16. 6 17. 1n(n?1)
211?2x?3y?66A O
B C D E
解答提示：
2
12. ∵a、b是方程x-x-1=0的两个根，
222222
∴a-a=1, b-b=1. ∴3a+2b-3a-2b=3(a-a)+2(a-a)=3+2=5. 13. 连结BO，则∠BOC=2∠A=60°，
∴∠E=1∠BOD=1(∠BOC+∠COD)= 1×(60°+48°)=54°.
22214.利用网格线之间的垂直关系，找到弦AB的中垂线，利用正方形的对角线互相垂直平分可以找到BC的中垂线，于是得圆心坐标（2,0）.
15. 函数y=x与y?1的图象交点A、C的坐标分别为（1,1）、（-1,-1），所以△AOB的
x面积等于1，根据反比例函的图象是中心对称图形，得平行四边形ABCD的面积为2.
216. 虽然啤酒瓶的形状不规则，但是瓶子的下部可视圆柱体，由于瓶子的容积V瓶不变，
瓶中水的体积V水也不变，故可将左图上部分不规则的空气体积V空，用右图上部分规则的空
33
气体积V空来代替. 设瓶的底面积为Scm, 则左图V水=12Scm, 左图V空=10Scm,
3
∵ V瓶=V水+V空=22Scm, ∴ V水:V瓶=6:11 所以应选C.
17． 第一层：1个；第二层：1+2个；第三层：1+2+3个；? ?； 第n层：1+2+3+?+n=1n(n?1)个，
2三、 18．（1）设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80-x）套.
由题意知2090≤25x+28(80-x)≤2096 48≤x≤50 ∵ x取非负整数，∴ x为48，49，50 ∴有三种建房方案：
A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套.
（2）该公司建房获得利润W（万元）由题意知 W=5x+6(80-x)=480-x.
∴当x=48时，W最大=432（万元）. 即A型住房48套，B型住房32套获得利润最大. （3）由题意知W=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x.
∴当0＜a＜1时，x=48, W最大，即A型住房48套，B型住房32套. 当a=1时，a-1=0，三种建房方案获得利润相等.
当a＞1时，x=50，W最大，即A型住房50套，B型住房30套.
8
19．（1）PB=PQ.
证明：过P作MN∥BC，分别交AB、DC于点M、N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，
△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）.
D A A D ∴NP=NC=MB. ∵∠BPQ=90°, P N M ∴∠QPN+∠BPM=90°. P Q M N 而∠PBM+∠BPM=90°,
B C C B ∴∠QPN=∠PBM.
Q 又∵∠QNP=∠PMB=90°，
图1 ∴△QNP≌△PMB. ∴PB=PQ. 图2 （2）△PCQ可能成为等腰三角形.
①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，这时PQ=QC，△PCQ是等腰三角形. 此时x=0. ②解法一：当点Q在边DC的延长线上，且CP=CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图2）. 此时，QN=PM=2x，CP=2?x，CN=2CP=1-2x.
222??∴CQ=QN-CN=2x??1?2x??2x?1. 此时，得x=1.
?22???②解法二：当点Q在边DC的延长线上，且CP=CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图2）. 由于此时，∠CPQ=1∠PCN=22.5°,
2∴∠APB=90°-22.5°=67.5°, ∠ABP=180°-(45°+67.5°)= 67.5°. ∴∠APB=∠ABP. ∴AP=AB=1. ∴x=1.
故当点P在线段AC上滑动时, △PCQ可能成为等腰三角形. 20．（1）方法一：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A1B1=1?12?1，A2B2=1?22?2，A3B3=1?32?9.
22222?1?k?2?k?b?设直线A1A3的解析式为y=kx+b. ∴?2 解得??3 ?b????9?3k?b2???2∴直线A1A3的解析式为 y?2x?3.
2∴CB2=2×2?3?5 . ∴CA2=CB2-A2B2=5?2?1.
2222方法二：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，
9
∴A1B1=1?12?1，A2B2=1?22?2，A3B3=1?32?9 .
2 由已知可得A1B1∥A3B3，∴CB2=1(A1B1+A3B3)= 1(1?9)?5 .
22222 ∴CA2=CB2-A2B2=5?2?1 .
22（2）方法一：设A1、A2、A3三点的横坐标依次为 n-1、n、n+1 .
则A1B1=1(n?1)2?(n?1)?1，A2B2=1n2?n?1，A3B3=1(n?1)2?(n?1)?1.
2222222设直线A1A3的解析式为y=kx+b.
1??k?n?1(n?1)k?b?(n?1)2?(n?1)?1??2∴ 解得??123 ?b??n???(n?1)k?b?1(n?1)2?(n?1)?122??2?∴直线A1A3的解析式为 y?(n?1)x?1n2?3.
22∴CB2=n(n?1)?1n2?3?1n2?n?3 .
2222∴CA2=CB2-A2B2=1n2?n?3?1n2?n?1?1. 2222方法二：设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1 .
则A1B1=1(n?1)2?(n?1)?1，A2B2=1n2?n?1，A3B3=1(n?1)2?(n?1)?1
222由已知可得A1B1∥A3B3，∴CB2=1(A1B1+A3B3)
2= 1[1(n?1)2?(n?1)?1?1(n?1)2?(n?1)?1]
22=1n2?n?3 . 222∴CA2=CB2-A2B2=1n2?n?3?(1n2?n?1)?1.
2222（3）当a＞0时，CA2=a；当a＜0时，CA2=-a.
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