第4讲
基本初等函数
4.1 二次函数
知识点睛
1．二次函数的定义
形如f(x)?ax2?bx?c(a?0)的函数叫做二次函数，其定义域是R． 上式叫做二次函数的一般式；
二次函数的顶点式：f(x)?a(x?h)2?k
二次函数两根式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)，其中x1，x2是方程ax2?bx?c?0的两根．
<教师备案>两根式的特点决定了它只能表示那些与x轴有交点的二次函数，不能表示所有的二次函数． 2．二次函数的性质
⑴ 二次函数的判别式：??b2?4ac
当??0时，二次函数与x轴有两个不同交点 当??0时，二次函数与x轴有一个交点
当??0时，二次函数与x轴没有交点 ⑵ 韦达定理
当?≥0时，记二次函数f(x)?ax2?bx?c与x轴交点的横坐标为x1，x2，则
bc x1?x2??；x1x2?．
aa<教师备案>注意韦达定理适用的前提条件：与x轴有交点的二次函数． ⑶ 闭区间上二次函数的最值问题：
二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?m，n?上必定可以取到最值，并且最值只能在区间端点或顶点处取到．可以分为三类情形来研究：
①轴定区间定：由对称轴和区间端点结合二次函数图象直接得出最值； ②轴动区间定：结合草图，对对称轴和区间的相对位置进行讨论； ③轴定区间动：结合草图，对区间和对称轴的相对位置进行讨论．
经典精讲
第4讲·尖子-目标·教师版
1
考点：二次函数性质 尖子班学案1
【铺1】 函数y?x2?(a?2)x?3，x?[a，b]的图象关于直线x?【解析】 4
由对称性知a?b?1，函数的对称轴为x??所以b?4．
【例1】 已知关于x的方程：x2?2?a?1?x?2a?6?0，
⑴ 若方程有两个不等实根，求实数a的范围；
⑵ 若方程有两个不等实根，且两根都在区间?1，???内，求实数a的范围；
⑶ 设函数f?x??x2?2?a?1?x?2a?6，x???1，1?，记此函数的最大值为M?a?，最小值为
N?a?，求M?a?、N?a?的解析式．
1对称，则b的值为______． 2a?2a?21，所以??，解得a??3 222【解析】 ???2(a?1)??4(2a?6)?4a2?4a?5
2??⑴ 方程有两个不等实根，则??0，即a2?4a?5?0，解得a?5或a??1； ⑵ 设方程的两根为x1，x2，则依题意，有x1?1，x2?1 ???0?x?x2?2(1?a)?即满足?(x1?1)(x2?1)?0，又?1，
xx?2a?6?12?(x?1)?(x?1)?0?12?a2?4a?5?05?所以得?2a?6?2(1?a)?1?0，解得??a??1；
4?2(1?a)?2?0?⑶ f?x??x2?2?a?1?x?2a?6??x?a?1??a2?4a?5
2①当1?a≤?1，即a≥2时，函数f(x)在区间??1，1?上单调递增，
则M(a)?f(1)?1?2(a?1)?2a?6?4a?5，N(a)?f(?1)?1?2(a?1)?2a?6?9； ②当?1?1?a≤0，即1≤a?2时，M(a)?f(1)?1?2(a?1)?2a?6?4a?5， N(a)?f(1?a)??2a?4a?；5
③当0?1?a?1，即0?a?1时，M(a)?f(?1)?1?2(a?1)?2a?6?9， N(a)?f(1?a)??a2?4a?5．
1?上单调递减， ④当1?a≥1，即a≤0时，函数f(x)在区间??1，则M(a)?f(?1)?1?2(a?1)?2a?6?9，N(a)?f(1)?1?2(a?1)?2a?6?4a?5； ?4a?5综上所述，M(a)???9?9a≥1?，N(a)???a2?4a?5a?1?4a?5?a≥20?a?2． a≤0
【备选】 设函数f(x)?ax2?bx?1（a，b为实数），
⑴ 若f(?1)?0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求f(x)表达式；
2
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⑵ 在⑴的条件下，若g(x)?f(x)?kx，在区间[?2，2]上是单调函数，则实数k的取值范围； ?f(x)(x?0)⑶ 在⑴的条件下，F(x)??，当x?[?2，2]时，求F(x)的值域；
?f(x)(x≤0)?【解析】 ⑴ 由f(?1)?0得a?b?1?0，又对任意实数x均有f(x)≥0，即?≤0，
则b2?4a?(a?1)2?4a?(a?1)2≤0，则a?1，所以b?2
⑵ 由⑴有f(x)?x2?2x?1，则g(x)?x2?(2?k)x?1，
2?k2?k 要求g(x)在区间??2，2?上单调，则只需满足?≤?2或?≥2
22 即k≤?2或k≥6；
?(x?1)2(x?0)?⑶ 依题意，有F(x)??， 2?(x?1)(x≤0)??9] 当x?(0，2]时，有F(x)单调递增，F(x)?(1， 当x?[?2，0]时，有F(x)??(x?1)2，最大值为F(?1)?0，最小值为F(?2)?F(0)??1， 所以F(x)的值域为??1，0?
?1，9?．
4.2分数指数幂与对数运算
知识点睛
1．分数指数幂
m?1m定义：a?a?a（a?0，m，；an?m． n都是正整数，且为既约分数）
nan<教师备案>① 正数a的正n次方根叫做a的n次算术根；
mn??nnmnm②
an不一定等于a．
运算律：a?a??a???；(a?)??a?? ；(ab)??a?b? （其中a?0，b?0，对任意实数?，?）． <教师备案>对于无理指数幂，可以从有理指数幂进行推广，用无理指数的不足或过剩近似值来计算幂
值进行逼近；一般来说，当a?0时，对任意实数?，a?都是有意义的，可以证明上述运算律对于任意实数?，?都成立．高中阶段实际涉及到的计算都是有理指数幂．
2．对数
⑴ 定义：一般地，如果ax?y(a?0，且a?1)，那么数x叫做以a为底y的对数，记作x?logay，
其中a叫做对数的底数，y叫做真数．
y a x 关系式 指数式 ax?y ???) 底数(a?0,a?1) 指数(x?R) 幂（值）(y??0，???) 真数(y??0，对数式 logay?x 底数(a?0,a?1) 对数(x?R) 意义，例如：log20，log2(?2)无意义．
⑵ 对数logaN（a?0且a≠1）的性质与特殊对数 ① 对数恒等式：alogay?y；
<教师备案>由于ax?0(a?0)，故y?ax?0，因此对数符号logay（a?0且a≠1）只有y?0时才有
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② 零和负数没有对数，即N?0； ③ 1的对数为零，即loga1?0；
④ 底的对数等于1，即logaa?1；
⑤ 常用对数：当a?10时，叫做常用对数，记做lgN；
⑥ 自然对数：当a?e时，叫做自然对数，记做lnN．e为无理数，e?2.71828． ⑶ 对数的运算性质：
如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么： ① loga(M?N)?logaM?logaN；（积的对数等于对数的和）
推广loga(N1?N2...Nk)?logaN1?logaN2?...?logaNk
M② loga（商的对数等于对数的差） ?logaM?logaN；
N③ logaM???logaM(??R)（正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数）
?④ loga?M??logaM(??R,??0)
?<教师备案> 以性质①为例进行证明如下：
已知logaM，logaN（M、N?0），求loga(MN)
设logaM?p，logaN?q，根据对数的定义，可得M?ap，N?aq 由MN?ap?aq?ap?q
∴loga(MN)?p?q?logaM?logaN．
性质④可以在讲完换底公式之后再证明．
logaNb?0，a，b?1，N?0）⑷ 换底公式：logbN?（a，．
logab<教师备案> ① 证明：
法一：根据指数的运算性质推导
设logbN?x，则bx?N．两边取以a为底的对数，得xlogab?logaN，
logaNlogaN所以x?，即logbN?．
logablogab法二：根据对数恒等式及对数的运算性质推导
由对数恒等式得：logbN?logab?loga(blogbN)?logaN，所以有logbN?② 换底公式的意义：
把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的．
b?0;a，b?1)． ③ logab?logba?1(a，
logaN． logab经典精讲
考点：分数指数幂与对数运算
【例2】 ⑴ 将322化成分数指数幂的形式是_______； 4
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15111?2?????1⑵ 化简?a3b2???3a2b3???a6b6?(a?0，b?0)的结果为______________；
?????3?⑶ 方程log2?x?1??2?log2?x?1?的根为________．
⑷ 已知log63?a，则log62?____；log26?______；log212?______．（用a表示） ⑸ 计算：
1①log2.56.25?lg?lne?21?log23?________；
100②lg4?lg25?2log23?0.50?_______； ③?0.027?12?13??log23???log34?log38??3?1?22log25?__________．
④lg2?lg50?lg5?lg20?lg100?lg5?lg2?________．
【解析】 ⑴ 2
⑵ ?9a
原式??9a⑶
5 211??326b115??236??9a
??x?1?x?1 原方程变形为log2(x?1)?log2(x?1)?2??，即，则x?5． ?22??x?1?4?log2(x?1)?log2412?a⑷ 1?a；；．
1?a1?a 因为6?2?3，所以两边同时取以6为底的对数， 得1?log66?log62?3?log62?log63， 所以log62?1?log63?1?a．
1log26?log62?1，则log26?；
1?a12?a． log212?log22?log26?1??1?a1?a13⑸ ①
2113 原式?2?(?2)??2?3?；
22② 6 原式?2?3?1?6 ③ ?17 原式?④ 1
原式?lg2??2lg5?lg2??lg5??2lg2?lg5??2lg5?lg2 ??lg2??2lg2?lg5??lg5?
22101?log23?log325??52?3?5?25??17 33
尖子班学案2
??lg2?lg5? ?1
2【拓1】 ⑴ 已知：a?a?1?3，求a2?a?2的值．
⑵ 若logmn?log3m?2，则n的值为_______．
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