【备选】 比较log78，log89的大小． 【解析】 法一：
log78ln8ln8?ln8?
因为log78?1，log89?1，则有：???log89ln7ln9ln7?ln92?ln7?ln9??ln63又有ln7?0，ln9?0，则ln7?ln9??， ?2??22??又因为8?63，则ln8?ln63?1，所以log78?ln8??ln8?即??log89ln7?ln9ln6322?ln8?2?ln63?2?1，
??2?1，所以log78?log89．
法二：
89，log89?1?log8， 78889而由对数函数性质可知：log7?log8?log8
778∴log78?1?log89?1，即log78?log89 ∵log78?1?log7
【备选】 设0?x?1，a?0且a?1，试比较loga(1?x)与loga(1?x)的大小．
【解析】 因为0?x?1，所以0?1?x?1，1?x?1?2，所以loga(1?x)?0，loga(1?x)?0，
则有所以
loga(1?x)loga(1?x)loga(1?x)?loga(1?x)?log1?x(1?x)，又0?1?x?1?1?x，
loga(1?x)?1??log1?x(1?x)??log1?x(1?x)?log1?x??，
loga(1?x)?1?x?21??1?x1??1?x??因为1?x1?x??x2?1??0，且1?x?1，所以log1?x???log1?x(1?x)?1 1?x?1?x?即loga(1?x)?loga(1?x)．
4.4幂函数
知识点睛
1．定义：一般地，形如y?x?(??R)的函数称为幂函数，其中?为常数．
??)都有定义，并且图象都通过点?1，1?； 2．性质：⑴所有的幂函数在(0，??)上是增函数； ⑵如果??0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，??)上是减函数． ⑶如果??0，则幂函数在区间(0，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴．
当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
第4讲·尖子-目标·教师版
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3．当?分别为?1，
1，1，2，3时，幂函数图象如右： 2
y=x2yy=x3y=x1y=x21y=x-1O1x经典精讲
考点：幂函数的图象性质应用
1【例6】 已知函数f?x??x?n2?2n?3?n?Z?在?0，???上单调递增，求f?x?的解析式，并解不等式
f?x2?x??f?x?3?．
【解析】 由题意得
1?0，整理得n2?2n?3?0，解得?1?n?3． 2?n?2n?313141或2．当n?0或2时，f?x??x；当n?1时f?x??x． ∵n?Z，∴n?0、若f?x??x，则f?x?在R上为增函数．
∵fx2?x?f?x?3?，∴x2?x?x?3?x2?2x?3?0?x?3或x??1 ???，且在?0，???上为增函数． 若f?x??x，则f?x?的定义域为?0，1413????∵fx2?x?f?x?3?，
?x?3≥0???3≤x?1或x?3． ∴?x2?x≥0?2?x?x?x?3综上，当f?x??x时，原不等式的解集为?x|x?3或x??1?； 当f?x??x时，原不等式的解集为?x|?3≤x??1或x?3?．
14132??2??2??1??3?3?1??3【例7】 将下列各数从小到大排列起来：，，，， ???3?，??????，???．????????，323332????????????23131213?2334?2113?1??1?【解析】 首先，在这8个数中，负数有：??3?，???两个，且??3?3?(?1)3???1?????；
?3??3?1333?2??2??2?正数有：??3?=3，??，??，????3??3??3?23231213?23?1??3??3????，??，????4；
?2??2??2?12132343?2?2??2??2??2?其中大于0小于1的有??，??两个，且?????；
?3??3??3??3?1213 12 第4讲·尖子-目标·教师版
?2?大于1的有??3?=3，????3?2323?23?1??3??3????，??，????4四个，
?2??2??2?23?22343?2?2?而????3??2322?3??3??9??1?????????????3?3=33?31?????4 ?2??2??4??2?2343综上所述，这8个数从小到大顺序排列为：
??3?
13?1??2?2?2?3?2????????????????3??3??3??3?311?232?3?3?1?3??????3?????． ?2??2?4?2
已知关于x的方程4x?2x?a?0有解，求实数a的取值范围
【解析】 令2x?t，则由指数函数的性质，有t??0，???，
则原方程变为t2?t?a?0，若原方程有解，则此方程有正根，记此方程两根为t1，t2， 又t1?t2??1?0，所以此方程只能有一个正根，一个负根， ???1?4a?0所以?，即a?0．
tt?a?0?121【点评】本题容易忽略2x的取值范围，换元之后直接由判别式得出a≤．
4
实战演练
【演练1】 计算：2?log?42； 【解析】
32
222?_______．
?2?原式?22?log2?．
?2????42?2?
【演练2】 已知log7??log5?log2x????0，则x【解析】 2； 812?12?2?_________．
由对数运算的性质，知log5?log2x??1，即log2x?5，所以x?25 则x???215?2??142?2． 8
【演练3】 设a?b?c?1，下列不等式中不正确的是（ ）
A．ac?bc B．logab?logac
C．ca?cb D．logbc?logac
【解析】 D
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分别利用幂函数，对数函数，指数函数的图象性质，可知A，B，C均正确．
b的值． 【演练4】 函数f(x)?ax2?2ax?2?b(a?0)在?2，3?上有最大值5，最小值2，求a，【解析】 ∵f(x)的对称轴为x?1，
∴在?2，3?上函数的最值只能在端点处取到，
∵f(2)?4a?4a?2?b?2?b，f(3)?9a?6a?2?b?3a?2?b ?a?0?a?0??∴?2?b?2或?2?b?5 ?3a?b?2?5?3a?b?2?2???a?1?a??1解得?或?．
b?3b?0??
【演练5】 已知f(x)?logax(a?1)；g(x)?logbx(b?1)；当f(x1)?g(x2)?2时，有x1?x2，则a、b的
大小关系是______． a?b 【解析】
由对数函数图象性质，在第一象限，底数越大，图象越靠近x轴，所以得a?b．
大千世界
（2009年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题）
x?x3函数f(x)?的最大值与最小值的乘积是_________．
1?2x2?x41【解析】 ?；
161?x?t1122x不妨设t?x?，则t?R，于是有t?x?2?2，则f?x??． ?21t?4xxx2?2?2x11于是有f?x?max?，f?x?min??．
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