（3）当外力系的主矢量为零时，系统的动量守恒，即
常矢量
外力系的主矢量在某一轴（如x轴）上投影为零时，系统的动量在该轴上的分量为一常数
1. 转动惯量
刚体对Z轴的转动惯量 JZ??mr2
常数
2．质点系动量矩
质点系对任意一点的动量矩为质点系中各点的动量对同一点的矩的矢量和，即 LO??r?mv 质点系对轴z 动量矩 Lz??m(mv)??L? ziiOz
平动刚体 LO?mO(mvC)?rC?mvC Lz?Jz??
定轴(z轴)转动刚体 平面运动的刚体 3．质点系动量矩定理
Lz?mz(mvC)?JC ??
质点系的动量矩定理建立了质点系动量矩的变化率与作用于质点系上外力的主矩之间的关系。可表示为如下几种形式：
（1）对固定点的动量矩定理
质点系对固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于外力系对同一点的主矩，即
用投影式表示为
dLO(e)(e)??mO(Fi)?MO dtdLy(e)(e)(e)dLxdLz(e)(e)(e)??mx(Fi)?Mx, ??my(Fi)?My, ??mz(Fi)?Mz dtdtdt 11
（2）相对质心动量矩定理
质点系相对质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。即
dLC (e)(e)??mC(Fi)?MC dt(e)（3）刚体绕固定轴转动的微分方程 Jz??Mz d?(e) Jz?Mzdt?C??X(e),M ?x或d2?(e) Jz2?Mz
dt4．刚体平面运动微分方程
?C??Yy M ?(e),
?? ??mC(F(e));JC ?5．动量矩定理的应用
在应用动量矩定理时，应注意以下几点： （1）正确计算质点系的动量矩；
（2）质点系动量矩的变化率与外力矩有关。所以，在分析问题时要明确研究对象，分清内力与外力；
（3）当对固定点的外力矩为零时，质点系对该点的动量矩守恒。即 MO(e)?0 时， LO?常矢量
或对某轴（如z 轴）的外力矩为零时，质点系对该轴的动量矩守恒。即
Mz
1.质点系动能的计算
(e)?0 时， Lz?常数
质点的动能 ：T?1mv2 21miv2 2质点系的动能等于质点系内各质点动能的总和，即 T??（2）刚体动能的计算
12T?Mvc 平动刚体： 212T?J?Z定轴转动刚体： 2 12
111222T?J??Mv?J?Pcc平面运动刚体： 222JZ;Jc;JP分别为刚体对固定轴，质心轴和瞬心轴的转动惯量。 2. 力的功的计算
作用在质点系上的力通常为变力，变力的元功为 ?W?F.ds
力在有限路程上的功为
或
如（1）重力在有限路程上的功为
即决定于轨迹两端的高度差，而与轨迹形状无关。 （2）弹性恢复力在有限路程上的功为
其中为弹簧刚度系数，弹性恢复力的功仅决定于质点在轨迹两端时弹簧的变形，而与轨迹形
状无关。
3. 动能定理
微分形式的动能定理：
dT???W
积分形式的动能定理：
T2?T1??W
动能定理给出了质点系在运动过程中速度与位置的关系。具有理想约束的一个自由度系统，利用动能定理就可以决定质点系在已知主动力作用下的运动规律。
4. 机械能守恒
在理想约束的情况下，若作用在系统上的主动力有势,则系统的机械能守恒，即
应用机械能守恒定律可得到系统运动微分方程的初积分。
常见势力的势能， （1）重力势能
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式中由零势面铅垂向上为正。 （2）弹性恢复力势能
式中为弹簧的变形量。以弹簧原长处为势能零点。
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