莆田四中2012-2013学年高二（15）期中考试数学试卷（理）
命题人：翁建新 审核人：陈世洪 2012.11.17
一、选择题：本大题共10小题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题
目要求的）．
0，1，2?，B?xx?x，则A?CUB为（ ） 1. 已知全集U?Z，A???1，2??2? A．??1，0? C．?0，1? D．?1，2? B．??1，2．已知{an}为等差数列，若a1?a5?a9??，则cos(a2?a8)的值为( )
A. ?3311 B. ? C. D.
22223. 下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“若am?bm，则a?b”的逆命题是真命题；
B．命题“p?q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题； C．已知x?R，则“x?1”是“x?2”的充分不必要条件； D．命题“?x?R,x?x?0”的否定是“?x?R,x?x≤0”；
22221n)的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为（ ） 2x1111 A．? B． C． D．
643264128
?2x?y?5,?5．某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件?x?y?2,,则该校招聘的教
?x?6.?4．若(x?师人数最多是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．13
6．设偶函数f(x)?Asin(?x??)（A?0,??0,0????)的部分 图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，?KML?90，KL?1，则f()的值为( )
016 A. ?3311 B. ? C. ? D. 44427．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友１本，则不同的赠送方法共有（ ） A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 8．某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧 则该几何体的体积为（ ）
A．6?3? B．2?3? C．6?? D． 2??
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?1?9．已知函数f?x??lgx???有两个零点x1、x2，则有（ ）
?2?A．x1x2?0 B．x1x2?1 C．x1x2?1 D．0?x1x2?1
10．对于有相同定义域D的函数f(x)和g(x)，若存在函数h(x)?kx?b,(k,b为常数)，对于任意给定的正数m，存在相应的x0?D,使得当x?D且x?x0时，总有?x?0?f(x)?h(x)?m，则称直线
?0?h(x)?g(x)?m。给出定义域D为[1,??)的四组函数如下： l:y?kx?b为曲线y?f(x)和y=g(x)的“分渐近线”
①f(x)?x2和g(x)?x； ②f(x)?10?x+2和g(x)?2x?3； xx2?1xlnx?12x2③f(x)?； ④ f(x)?和g(x)?和g(x)?2(x?1?e?x)
xlnxx?1其中，曲线y?f(x)和y=g(x)存在“分渐近线”的是（ ）
A． ①④ B． ②③ C．②④ D．③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上． 11．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样 的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上 学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图如图所示据此可 估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在 [15,25)内的人数为__ __； 12．设在4次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率等于65，则在一
81次试验中事件A发生的概率是 ；
????xy13．已知向量a=(x?1,2),b=(4,y),若a?b，则9?3的最小值为 ；
14. 阅读右侧程序框图，输出结果s的值为__ __； 15. 某同学由于求不出积分
开始s=0,n=1n≤2011？是nπs=s+sin3n=n+1否输出s结束?e1lnxdx的准确值，于是他采用“随机模拟方法”和
利用“积分的几何意义”来近似计算积分
?e1lnxdx.他用计算机分别产生10个在
[1,e]上的均匀随机数xi(1?i?10)和10个在[0,1上]的均匀随机数yi(1?i?10)，其数据记录为如下表的前两行.
图14
2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10 lnx 0.92 0.01 0.64 0.20 0.92 0.77 0.64 0.67 0.31 0.80 则依此表格中的数据，可得积分
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x y ?e1lnxdx的一个近似值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本题满分13分）
在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=1，b4=8，{an}的前10项和S10=55. （1）求an和bn；
（2）现分别从{an}和{bn}的前4项中各随机抽取一项，求这两项的值相等的概率。
17.（本题满分13分）
已知直线l：y＝x＋m，m∈R.
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； (2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C： y?12x是否相切？说明理由． 4
18.（本题满分13分）
某单位组织群众性登山健身活动，招募了N名师生志愿者，将所有志愿者现按年龄情况分为15—20,20—25,25—30,30—35,35—40,40—45等六个层次，其频率分布直方图如图所示：已知30—35之间的志愿者共8人，
（1）求N和20—30之间的志愿者人数N1;
（2）已知20—25和30—35之间各有2名英语教师，现从这两个层次各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人选中都至多有1名英语教师的概率是多少？
（3）组织者从35—45之间的志愿者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中男教师的数量为X，求X的概率分布列和平均值。
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19.（本题满分13分）
如图，三角形PAB是半圆锥PO的一个轴截面，PO=1，AB=2，四棱锥P?ABCD的底面为正方形，且与圆锥PO的底面共面.
（1）若H为圆锥PO的底面半圆周上的一点，且BH∥OC，连AH，证明：AH?PC; （2）在圆锥PO的底面半圆周上确定点G的位置，使母线PG与平面PCD所成角的正弦值为
20.（本题满分14分）
某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是
10. 4R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB = AD = 4万米，BC = 6
万米，CD = 2万米．
（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积；
（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧?ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．
21. （本题满分14分）
xA D B C P 函数f(x)?ae,g(x)?lnx?lna,其中a为常数,且函数y?f(x)和y?g(x)的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行． (Ⅰ)求此平行线的距离； (Ⅱ)若存在x使不等式
x?m?x成立，求实数m的取值范围； f(x)(Ⅲ)对于函数y?f(x)和y?g(x)公共定义域中的任意实数x0，我们把f(x0)?g(x0)的值称为两函数在x0处的偏差.求证:函数y?f(x)和y?g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2．
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高二（15）期中考试数学试卷（理）答案
一．选择题：AADCC DBCDC
二．填空题：６０ 1/3 6 ?33 (e-1)
5三、解答题：16. (1)an=n和bn=2n-1 (2) 3/16 17. 解法一：
0－m
(1)依题意，点P的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，所以×1＝－1，解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)．从
2－0而圆的半径r＝|MP|＝?2－0?2＋?0－2?2＝22，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8. (2)因为直线l的方程为y＝x＋m，所以直线l′的方程为y＝－x－m.
??y＝－x－m，由?2得x2＋4x＋4m＝0. Δ＝42－4×4m＝16(1－m)． ?x＝4y?
①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切； ②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．
综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．
222
解法二：(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)＋y＝r.
22
?4＋m＝r，
依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则?|2－0＋m|
＝r，?2?
?
?m＝2，
解得?所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
?r＝22.(2)同解法一． 18.解：（1）N=40 ; N1=24
6527585(2)设“所选出的人选中都至多有1名英语老师”为事件A； P（A）=? =
6628616(3)由题意知，女教师有4名，男教师有2名； X=0,1,2 131
P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)= 555131
所以分布列为均值为0?+1?+2?=1.
555
X P 0 1 51 3 52 1 519. 解：(Ⅰ)? H为圆锥PO的底面圆周上的一点，?AH?BH??????1分
又?BH?OC,?AH?OC??????2分
?PO?平面ABCD，AH?平面ABCD?PO?AH ?PO?OC?O,?AH?平面PCO，??????4分
?PC?平面PCO，?AH?PC??????5分
（Ⅱ）以O为原点，OA方向为x轴，OP方向为z轴建立空间直角坐标系，??????6分
????????则P(0,0,1),D(1,?2,0),C(?1,?2,0)，PD?(1,?2,?1),PC?(?1,?2,?1)，??????7分 ?设平面PCD的一个法向量为n?(x,y,z)，则
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