中山市2011年高三教研试题
理科数学
本试卷共21小题，满分150分。考试用时120分钟。
n??bx?a，其中b?参考公式： 线性回归方程系数公式：y?(xi?1ni?x)(yi?y)?x)2，a?y?bx．
?(xi?1i一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．如果复数
4?2i1?i A．3 B．6 C．?3 D．2
（其中i为虚数单位）的虚部等于（ ）
2．命题“?x?R,ex?x”的否定是（ ）
A．?x?R,e?x B．?x?R,e?x
xx C．?x?R,ex?x D．?x?R,ex?x
3．已知随机变量?服从正态分布N(3,?2)，且P(??1)?0.9，则P(??5)?（ ） A．0.9 B．0.8 C．0.1 D．0.2 4．下列命题正确的是（ ）
A．函数y?sinx在区间?0,??内单调递增 B．函数y?tanx的图像是关于直线x?
?2
成轴对称的图形
C．函数y?cos4x?sin4x的最小正周期为2?
??D．函数y?cos?x?3?????,0的图像是关于点??成中心对称的图形 ??6???????1????1????????????5．若等边?ABC的边长为23，平面内一点M满足CM?CB?CA，则MA?MB?33（ ）
A．?2 B．2 C．?23 D．23 6．设?和?为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若?内的两条相交直线分别平行于?内的两条直线，则?平行于?； ②若?外一条直线l与?内的一条直线平行，则l和?平行；
③设?和?相交于直线l，若?内有一条直线垂直于l，则?和?垂直； ④直线l与?垂直的充分必要条件是l与?内的两条直线垂直。
1
上面命题中，其中所有真命题的序号是（ ） ．．．
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①②
1213214321,,,,,,,,,...,依它的前10项的规律，这个数列的第201111212312347．已知数列：,项a2011满足（ ）
A．0?a2011?110 B．
110?a2011?1
C．1?a2011?10 D．a2011?10
8．方程
|sinx|x的结论正确的是（ ）
?k(k?0)有且仅有两个不同的实数解?,?(???)，则以下有关两根关系
A．sin???cos? B．sin????cos? D．sin????sin?
C．cos???sin?
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9.关于x的二项式(2x?1x)展开式中的常数项是
410．已知x、y的取值如下表所示： x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 ??0.95x?a，则a? ； 若y与x线性相关，且y11. 如右图，是一程序框图，则输出结果为 ； 12． 在?ABC中，已知A(1,3)，?A的平分线的方程为
y?x?2，BC边上的高所在的直线的方程是y??12x?4，则AC边所在的直线的方程为 2213. 若点集A?{(x,y)|x?y?1},B?{(x,y)|?1?x?1,?1?y?1}，则点集 P??(x,y)x?x1?1,y?y1?1,(x1,y1)?A}
M??(x,y)x?x1?x2,y?y1?y2,(x1,y1)?A,(x2,y2)?B?
所表示的区域的面积分别为 ； ．
（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）
?14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线?cos(??)?2 与圆??42的公
共点个数是________；
15．(几何证明选讲选做题）
C2
2DA
BO4P23
如图, PC,DA是?O的两条切线，AB为?O的直径， 若DA?2, CD:DP?1:2，则AB? ________ .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16．（本小题满分12分）
??A已知A、且其对边分别为a、若m?(?cos,sni),c，B、C为?ABC的三内角，b、
2????1AAn?(cos,sin),且m?n?.
222A2
（1）求角A的值；
（2）若a?23,b?c?4,求?ABC的面积．
17．（本小题满分12分）
如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，??，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第n层第m个竖直通道（从左至右）的概率为P(n,m)．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）
入口 （Ⅰ）求P(2,1),P(3,2)的值，并猜想P(n,m)的表达式．（不必证明） （Ⅱ）设小弹子落入第6层第m个竖直通道得到分数为?，
?4?m,1?m?3?m?3,4?m?6第1层 第2层 第3层 其中???
，试求?的分布列及数学期望．
3
第4层
18．（本题满分14分）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC，顶点在A1底面ABC上
的射影恰为点B，且AB?AC?A1B?2． （1）求证：A1C1?平面ABA1B1 （2）求棱AA1与BC所成的角的大小； （3）在线段B1C1上确定一点P，使AP?14，
C
A
C1
B1
A1
并求出二面角P?AB?A1的平面角的余弦值．
19．（本题满分14分）
已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中： x y B
1 ?22 ?5 2 ?4 2 1550 （Ⅰ）求C1、C2的标准方程；
（Ⅱ）过点曲线的C2的焦点B的直线l与曲线C1交于M、N两点，与y轴交于E点，
?????????????????若EM??1MB,EN??2NB,求证:?1??2为定值。
4
20．（本小题满分14分）
设x1、x2(x1?x2)是函数f(x)?ax3?bx2?a2x(a?0)的两个极值点。 （1）若x1??1,x2?2，求函数f(x)的解析式； （2）若|x1|?|x2|?22，求b的最大值。
（3）若x1?x?x2，且x2?a，函数g(x)?f'(x)?a(x?x1)， 求证：|g(x)|?112a(3a?2)
2 21．（本题满分14分）
已知数列{an}和{bn}满足： (1)a1?0，b1?0； (2)当当
ak?1?bk?1ak?12?bk?12?0时ak?ak?1，bk??0时，ak?ak?1?bk?12；
ak?1?bk?12（Ⅰ）如果a1??3，b1?7，试求a2，b2，a3，b3；
*，bk?bk?1(k?2,k?N)。
（Ⅱ）证明：数列{bn?an}是一个等比数列；
（Ⅲ）设n(n?2)是满足b1?b2?b3???bn的最大整数，证明n?log2
5
a1?b1a1.