参考答案
一、选择题 CCADADBB 二、填空题：
9．24 ; 10．2.6 ; 11． 14．1 15．43 三、解答题： 16．（本小题满分12分）
??A已知A、且其对边分别为a、若m?(?cosnsi,,)c，B、C为△ABC的三内角，b、
2????1AAn?(cos,sin),且m?n?.
222A2511 ; 12．x?2y?3?0; 13． ?；18?? ;
（1）求角A的值；
（2）若a?23,b?c?4,求?ABC的面积．
???1112A2A?sin?,即cosA??,???????4分 16解：（1）由m?n?,得:?cos222222?A为?ABC的内角，?A??. ?????????????6分
3（2）由余弦定理：a2?b2?c2?2bccosA?a2?(b?c)2?bc
即12?42?bc?bc?4 ?????????????????????10分 又S?ABC?
17．（本小题满分12分）
如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，??，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第n层第m个竖直通道（从左至右）的概率为P(n,m)．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道） （Ⅰ）求P(2,1),P(3,2)的值，并猜想P(n,m)的表达式．（不必证明） （Ⅱ）设小弹子落入第6层第m个竖直通道得到分数为?，
?4?m,1?m?3其中???，试求?的分布列及数学期望．
m?3,4?m?6?12bcsinA?3. ???????????????????12分
入口 第1层 第2层 第3层 第4层 6
1?1??1?17解：（1）P(2,1)?C?????，…………2分
2?2??2?0101
11?1??1? P(3,2)?C2 …………..……4分 ?????2?2??2?11
P(n,m)?Cn?12m?1n?1 ………………………..…..…6分
（2）?可取的值是1,2,3………………………………………..7分
2015515 p(??3)?p(6,1)?p(6,6)?C5()?C5()?223210115415 p(??2)?p(6,2)?p(6,5)?C5()?C5()?223220215315p(??1)?p(6,3)?p(6,4)?C5()?C5()?
2232
? P 3 2321032?1?2032?2 23161 20321032 ……........…12分
E??3?232?2?
18．（本题满分14分）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC，顶点A1在底面ABC上
C1
A1
B1
的射影恰为点B，且AB?AC?A1B?2． （1）求证：A1C1?平面ABA1B1 （2）求棱AA1与BC所成的角的大小； （3）在线段B1C1上确定一点P，使AP?14，
并求出二面角P?AB?A1的平面角的余弦值．
18．解：
(1) 证明：略 …………………………4分 （2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
x C
B A
C1
P A1 z
00?，B?0，，20?，A1?0，，22?，B1?0，，42?， 则C?2，，C y
7
?????????????AA1??0，2，2?，BC?B1C1??2，?2，0?．
????????????????AA?BCcos?AA1，BC??????1?????AA1?BC?48?8??12，
故AA1与棱BC所成的角是
?3． ??8分
?????????（3）设B1P??B1C1??2?，?2?，0?，则P?2?，4?2?，2?．
于是AP?4???4?2???4?2214???12（??
32
舍去），
则P为棱B1C1的中点，其坐标为P?1，，32?． ??10分 ??设平面P?AB?A1的法向量为n1??x,y,z?，
????????x?3y?2z?0?n1?AP?0则??????, 即? ?2y?0???n1?AB?0??令z?1 故n1???2，0，1? ??12分
????????cosn,n而平面ABA1的法向量n2=（1,0,0），则12?????n1?n2225???? ?????55n1n2故二面角P?AB?A1的平面角的余弦值是
19．（本题满分14分）
255． ????14分
已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x y 1 ?5 2 ?4 2 155?22 0 （Ⅰ）求C1、C2的标准方程；
（Ⅱ）过点曲线的C2的焦点B的直线l与曲线C1交于M、N两点，与y轴交于E点，
?????????????????若EM??1MB,EN??2NB,求证:?1??2为定值。
19．解：（Ⅰ）设抛物线C2:y?2px(p?0)，则有
2y2x?2p(x?0)，据此验证4个
2点知（1，?22）、（2，?4）在抛物线上，易求y?8x ??????2分
8
设CC1：:2xa22?yb22?(a?b?0)，把点（?5，0）（2，155）代入得：
?5?1??a2???2?3?122?5b?aC1方程为
??a?5???b?1
x25?y?1?????????????????????5分
2（Ⅱ）证明：设M,N,E点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),E(0,y0)，
又易知B点的坐标为(2,0)．且点B在椭圆C1内, 故过点B的直线l必与椭圆相交． ????????? ∵EM??1MB， ∴(x1,y1?y0)??1(2?x1,?y1)．
∴ x1?2?11??1，y1?y01??1． ??????????????????8分
y012?122)?()?1， 将M点坐标代入到椭圆方程中得：(51??11??1
去分母整理，得?1?10?1?5?5y0?0． ???????????????10分 ????????22同理，由EN??2NB可得：?2?10?2?5?5y0?0． ?????????12分
2222 ∴ ?1，?2是方程x?10x?5?5y0?0的两个根， ∴ ?1??2??10．???14分 20．（本小题满分14分）
设x1、x2(x1?x2)是函数f(x)?ax?bx?ax(a?0)的两个极值点。 （1）若x1??1,x2?2，求函数f(x)的解析式； （2）若|x1|?|x2|?22，求b的最大值。
（3）若x1?x?x2，且x2?a，函数g(x)?f'(x)?a(x?x1)，
求证：|g(x)|?1122322a(3a?2)。
2220．解：f'(x)?3ax?2bx?a(a?0)????1分 （1）∵x1??1,x2?2是函数f(x)的两个极值点，
∴f'(?1)?0，f'(2)?0。????????????????????2分 ∴3a?2b?a?0，12a?4b?a?0，解得a?6,b??9。??????3分
9
22
∴f(x)?6x3?9x2?36x。??????????????????????4分 （2）∵x1,x2是函数f(x)的两个极值点，∴f'(x1)?f'(x2)?0。 ∴x1,x2是方程3ax2?2bx?a2?0的两根。
∵??4b2?12a3，∴??0对一切a?0,b?R恒成立。
x1?x2??2b3a，x1?x2??a3，
∵a?0，∴x1?x2?0。
2b3a2∴|x1|?|x2|?|x1?x2|?(?)?4(?a3)?4b9a22?43a。????????6分
由|x1|?|x2|?22得
4b9a22?43a?22，∴b2?3a2(6?a)。????7分
∵b2?0，∴3a2(6?a)?0，∴0?a?6。??????????????8分 令h(a)?3a2(6?a)，则h'(a)??9a2?36a。
当0?a?4时，h'(a)?0，∴h(a)在（0，4）内是增函数；
当4?a?6时，h'(a)?0，∴h(a)在（4，6）内是减函数。????????9分 ∴当a?4时，h(a)有极大值为96，∴h(a)在(0,6]上的最大值是96，
∴b的最大值是46。????????????????????????10分 （3）证法一：∵x1,x2是方程f'(x)?0的两根，
∴f'(x)?3a(x?x1)(x?x2)，????????????????????11分
13|x?x1|?|x?x2?|?3a(1∴|g(x)|?3a|x?x1|?|x?x2?2|3)2??????12分
∵x1?x?x2，∴x?x1?0，x?x2?0， ∴|g(x)|?3a4a3[(x?x1)?(x?x2?13)]?1323a4(x2?x1?13)。
2∵x1?x2??，x2?a，∴x1??。
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