2015届高三第四次统考理科数学试卷讲评 一、试卷分析 1. 成绩分析 2. 错因分析
①基本概念掌握不准确，基本题型掌握不到位，运算能力亟待提高。 ②基本的数学思想方法，如数形结合思想，化归与转化，分类讨论思想等 的运用需在以后的学习中不断提高。
二、试题分类解析与变式训练 1、对称问题
【题1】（统考四8）若f?x??lne A.?2 B.??3x?1?ax是偶函数，则实数a?（ ）
?312 C.? D.? 223a(x?b)2(a?0,b?R,c?0)g(x)?m?f(x)??n， 2(x?b)?c【题2】（统考四15）已知函f(x)?其中m,n?R,mn?0. 给出下列命题：①函数f(x)的图像关于点(b,0)成中心对称；②存在实数p,q，使得p?f(x)?q对于任意实数x恒成立；③关于x的方程g(x)?0的解集可能为??4,?2,0,3?；④若关于x的方程g(x)?0的有四个不等实数解，则这四个解之和必为4b.其中所有正确的命题的序号是 .
【回顾1】（2010上海春18）已知函数f(x)?是（ ）
A. ?2,? B. ?2,? C. ?2,? D. ?0,0? 【回顾1】（2013国标Ⅰ16）若函数f(x)=(1?x)(x?ax?b)的图像关于直线x??2对称，则f(x)的最大值是______.
221的图像关于点P对称，则点P的坐标4?2x??1?2???1?4???1?8?(x?1)2?sinx【回顾3】（2012国标文16）设函数f(x)?的最大值为M，最小值为m，则
x2?1M+m= .
?log5|x?5|(x?5)【回顾4】（周考二10重点班）已知函数f(x)??，若关于x的方程
(x?5)?3f2(x)?bf(x)?c?0有五个不等实根x1,x2,???,x5，则f(x1?x2?????x5)?（ ）
1
A. log53 B. 1?log53 C. 1?log54 D.2
4x?bg(x)?【变式1】函数f(x)?lg(10?1)?ax是偶函数，是奇函数，则a?b?（ ） x2xA.1 B. ?1 C. ?【变式2】已知函数f?x??于直线 对称.
11 D.
22sin?x．函数f?x?的定义域是R，且其图象关22?x?1??x?2x?2?11?x?m?（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的22整数 记作{x}，即?x??m. 函数f(x)?x??x?的图像关于直线 对称.
【变式3】给出定义：若m?【变式4】（2009福建10）函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的图象关于直线x??2b对称。2a据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m?f(x)??nf(x)?p?0的解集都不可能是（ ）
A. ?1,2? B ?1,4? C ?1,2,3,4? D ?1,4,16,64? 【小结】对称问题的本质是点的对称，函数奇偶性是基础。
2、函数思想 ：大道至简：构造函数的智慧
函数思想的本质就是运用运动、变化的观点，分析和研究数量减的关系，最终通过函数的图像和性质解决问题，它是研究数学问题的重要工具。运用函数思想，常需要构造函数，而构造法属于非常规思维，它适用于对那些常规方法不易解决的问题，是培养创造性思维能力的一种有效途径。构造法的主要思想是依据题设条件的特征，以所求结论为方向，在构造中实现思维的升华，使问题变得简洁明了，解决起来轻松自如。 一、基于问题形式特征的分析，创新构造函数解决有关函数问题，化繁为简。 【题3】（统考四9）若0?x1?x2?1，则（ ）
A.e2?e1?lnx2?lnx1 C.x2e1?x1e2
xxxx
B.e2?e1?lnx2?lnx1
xxxx
D.x2e1?x1e2
exe2,f?2??,则【回顾1】（高二下月考四10）设函数f?x?满足xf??x??2xf?x??x82 2
当x?0时，f?x?（ ）
（A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值
（C）既有极大值又有极小值 （D）既无极大值也无极小值
【回顾2】（周考三14（普通班））已知函数f?x??aln?x?1??x,若对0?x1?x2?1,
2不等式
f(x2)?f(x1)?1恒成立，则实数a的取值范围为 。
x2?x12类似的有（周考三14重点班）已知函数f?x??aln?x?1??x,在区间?0,1?内任取两个实数p,q,且p?q,若不等式为 。
f?p?1??f?q?1??1恒成立，则实数a的取值范围
p?qx2（月考三21）已知函数f(x)??a3ln(x?a?a2)，a?R且a?0．
2（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；
f(x2)?f(x1)a2（Ⅱ）当a?0时，若a?a?x1?x2?a?a，证明:??a.
x2?x1222
【变式1】（2013福建8）设函数f(x)的定义域为R，x0(x0?0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．?x?R,f(x)?f(x0) B．?x0是f(?x)的极小值点 C．?x0是?f(x)的极小值点 D．?x0是?f(?x)的极小值点
'【变式2】已知f(x)是定义域为(0,+∞)的可导函数，且f(x)?xf(x)恒成立，则不等式
1x2f()?f(x)?0的解集是_______________.
x
二、基于问题的合理化归，灵活构造函数解决有关方程问题，化生为熟。 【题4】（统考四10）已知函数f(x)?x2?ex?1(x?0)与g(x)?x2?ln(x?a)的图象2在存在关于y轴对称点，则a的取值范围是（ ）
（-?，）（-（-?，e） A. B. C.
1e11，e）（-e，） D.ee
3
【题5】（月考四20）设函数f(x)?（1）求f(x)的极大值；
lnx,g(x)?x2. 2x（2）试探究函数F(x)?xf(x)?k(x?)?1(k?R)与g(x)的图象在其公共点处是否存在公切线，若存在，研究k的值的个数；若不存在，请说明理由.
【回顾3】（周考二（重点班）21）已知函数:学.科f(x)?ex?ax2?ex,a?R. （Ⅰ）若曲线y?f(x)在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求f(x)的单调区间； （Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y?f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.
【回顾4】（周考三16）把函数f(x)?x?x的图像C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到函数g(x)的图像C2. （Ⅰ）求函数g(x)的解析式；
（Ⅱ）证明：C1与C2关于点A(,?)；
（Ⅲ）如果若对任意的u?0，曲线C1与C2至多只有一个交点，求v的最小值． 【回顾5】（周考三19）已知函数f(x)?ln(e?a)（a为常数）是R上的奇函数，函数
x33'1xu2v2g(x)??f(x)?sinx是区间[-1，1]上的减函数. （Ⅰ）求a的值；
2（Ⅱ）若g(x)?t??t?1在x?[?1,1]上恒成立，求t的取值范围；
lnx?x2?2ex?m的根的个数. （Ⅲ）讨论关于x的方程
f(x)2【回顾6】（周考三20）已知函数f(x)?x?a(x?lnx)，x?0，a?R是常数．
（Ⅰ）求函数y?f(x)的图象在点1 , f?1?处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y?f(x)图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；
'（Ⅲ）证明：?a?R，存在??(1 , e)，使f(?)???f(e)?f(1)．
e?1x【变式3】（2011江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)?e(x?0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________.
4
【变式4】（2013天津7）函数f(x)?2x|log0.5x|?1的零点个数为（ ）
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
2【变式5】（2013湖南5）函数f?x??2lnx的图像与函数g?x??x?4x?5的图像的交点个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2【变式6】设函数f(x)?ln(x?a)?x，若直线y?x为函数f(x)的图象的一条切线，求
a的值。
三、基于等价转化，将解证不等式问题转化为函数问题. 【回顾7】（周考三13）已知a?R，且满足(a?1)为 .
【回顾8】（统考一21）设g(x)?e，f(x)?g[?x?(1??)a]??g(x)，其中a,?是常数，且0???1．
（1）求函数f(x)的最值；
x?13?(3?2a)，则a的取值范围
?13（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式
g(x)?1?1?a成立； x??（3）设?1?0,?2?0，且?1??2?1，证明：对任意正数a1,a2都有a11a22??1a1??2a2．
【回顾9】（周考三21重点班）已知函数f(x)?alnx?（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若x1?(0,),x2?(2,??)且a?[,2)时，求证:f(x2)?f(x1)?ln2?
【回顾10】（月考三20）已知函数f?x??k(x?1)e?x.
x211(a?0)在(0,)内有极值. x?123. 41212（1）若在y轴的左侧，函数g?x??x?(k?2)x的图象恒在f?x?的导函数f??x?的图象
2的上方，求k的取值范围；
（2）当k??1时，求函数y?f?x?在?k,1?上的最小值m。 【变式7】（2011辽宁理21）已知函数f(x)?lnx?ax2?(2?a)x．
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