（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
111时，f(?x)?f(?x)； aaa（Ⅲ）若函数y?f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：
（Ⅱ）设a?0，证明：当0?x?? f（x0）＜0．
x2?ax?lnx【变式8】设函数f?x??.
ex（1）若a?2,试求函数f?x?的单调区间；
（2）若函数f(x)在区间（0，1］上是减函数，求a的取值范围.
四、基于问题主元与辅元的变更，巧妙构造函数解决有关不等式等问题，化难为易。
1?x2【题5】（统考四21)已知函数f?x??x?R?. 2?1?x?x（1）求函数f?x?的极大值；
（2）若et?2x2?etx?et?2≥0对满足x≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自然对数的底数）；
（3）求证：对任意正数a、b、?、?，恒有
?????a??b?2?f????????????? ?
??a2??b2f????????a??b??a2??b2. ?≥????????????22【回顾11】（周考三20）已知函数f(x)?x?a(x?lnx)，x?0，a?R是常数．
（Ⅰ）求函数y?f(x)的图象在点1 , f?1?处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y?f(x)图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；
'（Ⅲ）证明：?a?R，存在??(1 , e)，使f(?)???f(e)?f(1)．
e?1【回顾12】（周考三19）已知函数f(x)?ln(e?a)（a为常数）是R上的奇函数，函数
xg(x)??f(x)?sinx是区间[-1，1]上的减函数.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若g(x)?t??t?1在x?[?1,1]上恒成立，求t的取值范围； （Ⅲ）讨论关于x的方程
类似的有（月考三20）已知函数f(x)?e?ax?2x?1(x?R).
x22lnx?x2?2ex?m的根的个数. f(x) 6
（1）当a?0时，求f(x)的单调区间；
a2?a?1（2）求证：对任意实数a?0，有f(x)?.
a
【变式9】若对任意实数p???1,1?，不等式px2?(p?3)x?3?0成立，则实 数x的取值范围为（ ） A.
??3,?1?? ? B. ?
???,?1??? C. ?
?3,???? D. ???,?1???3,????
【变式10】（2013陕西21）已知函数f(x)?ex,x?R.
（Ⅰ）若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; （Ⅱ）设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线y?mx2(m?0) 公共点的个数. （Ⅲ）设a 【变式11】（2013国标Ⅱ理）已知函数f(x)?ex?ln(x?m). (Ⅰ)设x?0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)当m?2时,证明：f(x)?0. 2【变式12】（2009国Ⅱ22)设函数f?x??x?aIn?1?x?有两个极值点x1、x2，且x1?x2. f(a)?f(b)f(b)?f(a)与的大小, 并说明理由. 2b?a（I）求a的取值范围，并讨论f?x?的单调性； （II）证明：f?x2??1?2In2 ..w.w.k.s.5.u.c.o.m 4 五、基于问题与函数的联系，迁移构造函数解决有关数列、三角问题，化异为同。 【回顾13】（周考四21（普通班）设函数 f(x)?ln(1?x),g(x)?xf'(x),x?0，其中 f'(x)是f(x)的导函数. （1）g1(x)?（2）若 g(x),gn?1(x)?g(gn(x)),n?N?，求gn(x)的表达式； f(x)?ag(x)恒成立，求实数a的取值范围； 7 （3）设n?N?，比较g(1)? g(2)???g(n)与n?f(n)的大小，并加以证明. 【回顾14】（2009广东21）已知曲线Cn:x2?2nx?y2?0(n?1,2,?)．从点P(?1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn?0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)． （１）求数列{xn}与{yn}的通项公式； （２）证明：x1?x3?x5???x2n?1? 【回顾15】（2013大纲12）已知函数f?x?=cosxsin2x，下列结论中错误的是（ ） （A）y?f?x?的图像关于??,0?中心对称 （B）y?f?x?的图像关于直线x?（C）f?x?的最大值为 【变式13】集合A?{y|y?x,x?[1,2]}，集合B?{x|lnx?ax?2?0}，且A?B，求实数a的取值范围。 【变式14】（2013新课标16）等差数列?an?的前n项和为Sn，已知S10?0,S15?25，则 31?xnx?2sinn. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1?xnyn?2 对称 3 （D）f?x?既奇函数，又是周期函数 2nSn的最小值为________． 【变式15】已知函数f(x)?ax?xlnx的图像在点x?e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3. （1）求实数a的值； （2）若f(x)?kx对x?0恒成立，求实数k的取值范围； （3）当n?m?1(m,n?N)时，证明：三、课堂小结 四、课后作业：变式训练 五、课后反思： 8 ?n2mm?. mnn 舒城中学2015届高三第四次统考 数学(理科)参考答案 一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分） 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 A 5 A 6 C 7 A 8 B 9 C 10 B 二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,请你将正确的答案填在空格处) 2a2-5 11．； 14. ?0,1?； 15. ①②④. -2； 12. 3； 13. 4a2?2三、解答题:（共6个小题,满分75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．【解析】f(x)?cos?x，-----1分 由题意T??,???2，故f(x)?cos2x.-----2分 （1）由题意得cos2??1?5?,2????2?,2??,?2???,?，------5分 233 故?的取值集合为????5??,??；--------6分 6??6（2）y?sin(2x?分 ?????)，-------9分 故递增区间为???k?,?k??(k?Z)------1266?3?17.【解析】（1）由题意知f(x)?a?b?msin2x?ncos2x， ???13?3?msin?ncos,3?m?n,????6622 且?即?得m?3,n?1；-------6分 ??2?msin4??ncos4?,??2??3m?1n,??33??22（2）由（1）知f(x)?3sin2x?cos2x?2sin(2x? 由题意知g(x)?f(x??)?2sin(2x?2???6)，-------7分 ?6)，---------9分 2 设y?g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x0?1?1，所以x0?0， 即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）。---------10分 将其代入y?g(x)得sin(2?? 因此g(x)?2sin(2x??6)?1，因为0????，所以???6， ?2)?2cos2x。------12分 9 AC2?AD2?CD2. 18．【解析】（1）如图，在?ADC中，由余弦定理，得cos?CAD?2AC?AD 故由题设知，cos?CAD?7?1?427?. ------6分 727（2）sin?BAD?1?cos2?BAD?1?(?172179)?. 1414于是sin?BAC=sin(?BAD??CAD)=sin?BADcos?CAD?cos?BADsin?CAD = 17921732179?51 ??(?)?=141477147BCAC?， sin?BACsin?CBA在?ABC中，由正弦定理， 故BC= AC?sin?BAC6179?351.-------12分 ?sin?CBA72119．【解析】（1）当x?0时，t?0； 当0?x?24时， 2x2??1（当x?1时取等号），?0?t?1 x2?1x?1x 综上所得t的取值范围是 [0,1] …………5分 （2）当a??0,1?时，记g?t??t?a?2a?2 32??t?3a?,0?t?a??3 则g?t??? ……………8分 ?t?a?2,a?t?1?3? ∵g?t?在?0,a?上单调递减，在?a,1?上单调递增， 且g?0??3a?251??,g(1)?a?,g?0??g(1)?2?a??． 332??511??a?,0?a?g1,0?a??????322??? 故M?a???. ……………………11分 121?g?0?,?a?1?3a?,?a?1???232? ∴当且仅当0?a? 1时，M?a??2. 310