事件表达式A?B的意思是事件A与事件B至少有一件发生
假设事件A与事件B互为对立，则事件A?B是不可能事件. 这是因为对立事件的积事件是不可能事件。
已知随机变量X,Y相互独立，且都服从标准正态分布，则X2＋Y2服从自由度为2的?2分布. 因为n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n的?2分布。
已知随机变量X,Y相互独立，X~N(2,4),Y~N(?2,1), 则X+Y~N(0,5). 因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5, 所以有X+Y~N(0,5)。 样本(X1,X2,X3)取自总体X，E(X)=?, D(X)=?2, 则有期望的无偏估计.
随机变量X服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X的数学期望E(X)的值为3.5. 选C，因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。
已知P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则P(A?B)= 0.18. 由乘法公式P(A?B)=P(A)P(B|A)=0.6?0.3=0.18。
三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为0.784. 是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1?0.216=0.784。
一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为0.25. 由古典概型计算得所求概率为
X1?X2?X33是?的无偏估计. 因为样本均值是总体
5?3?21??0.25。 3C104已知连续型随机变量
0?x?1,?x,?X~f(x)??2?x,1?x?2,?0,其它.? 则P{X?1.5}=0.875，因
P{X?1.5}?
?1.50f(x)dx?0.875
假设X~B(5, 0.5)(二项分布), Y~N(2, 36), 则E(X+Y)= 填4.5，因E(X)=5?0.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.5
一种动物的体重X是一随机变量，设E(X)=33, D(X)=4，10个这种动物的平均体重记作Y，则D(Y)＝0.4，因为总体X的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。
有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（10分）
解：设从甲袋取到白球的事件为A，从乙袋取到白球的事件为B，则根据全概率公式有
P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A) 21115??????0.417323412
已知随机变量X服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y＝2X +1，求Y的概率密度函数。（10分） 解：已知X的概率密度函数为
?1,0?x?1,Y的分布函数FY(y)为 fX(x)??其它.?0,y?1y?1?}?FX???因此2?2?Y的概率密度函数为
FY(y)?P{Y?y}?P{2X?1?y}?P{X??11?y?1??,1?y?3,fY(y)?FY?(y)?fX? ???22?2??其它.?0,
知二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示：
Y 1 2 ?1 X ?1 2
0.1 0.2
0.2 0.1
0.3 0.1
(1) 试求X和Y的边缘分布率
(2) 试求E(X),E(Y),D(X),D(Y),及X与Y的相关系数?XY(满分10分) 解：(1)将联合分布表每行相加得X的边缘分布率如下表：
X 2 ?1 p 0.6 0.4 将联合分布表每列相加得Y的边缘分布率如下表： Y 1 2 ?1 p 0.3 0.3 0.4 (2) E(X)??1?0.6+2?0.4=0.2, E(X2)=1?0.6+4?0.4=2.2, D(X)=E(X2)?[E(X)]2=2.2?0.04=2.16
E(Y)??1?0.3+1?0.3+2?0.4=0.8, E(Y2)=1?0.3+1?0.3+4?0.4=2.2 D(Y)= E(Y2)?[E(Y)]2=2.2?0.64=1.56
E(XY)=(?1)?(?1)?0.1+(?1)?1?0.2+(?1)?2?0.3+2?(?1)?0.2+2?1?0.1+2?2?0.1= =0.1?0.2?0.6?0.4+0.2+0.4??0.5 cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)??0.5?0.16??0.66
?XY?
cov(X,Y)?0.660.66?????0.36
1.836D(X)D(Y)2.16?1.5610．从0,1,2,?,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：A1中不含0和5’，
?‘三个数字
A2?‘三个数字中不含0或5’，A3?‘三个数字中含0但不含5’.
C837解P(A1)?3?.
C1015333C9C9C814P(A2)?3?3?3?，或
C10C10C1015
1C814P(A2)?1?P(A2)?1?3?，
C1015C827P(A3)?3?.
C1030
16．设事件
A与B互不相容，P(A)?0.4,P(B)?0.3，求P(AB)与P(A?B)
解P(AB)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?0.3 因为
A,B不相容，所以A?B，于是
P(A?B)?P(A)?0.6
设P(A)?0.7,P(A?B)?0.3,P(B?A)?0.2，求P(AB)与P(AB).
解0.3?P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.7?P(AB)，
所以
P(AB)?0.4，故
P(AB)?0.6；
0.2?P(B)?P(AB)?P(B)?0.4.所以 P(B)?0.6
P(AB)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)?0.1
设
AB?C，试证明P(A)?P(B)?P(C)?1
[证] 因为AB?C，所以
P(C)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?1
故
P(A)?P(B)?P(C)?1. 证毕.
设随机变量
X的概率密度为
?csinx,0?x??, f(x)???0,其他.求：（1）常数C；（2）使P(X?a)?P(X?a)成立的a.
解（1）1??????f(x)dx?c?sinxdx??ccosx0?2c，c?0??1； 2（2）P(X?a)??1111?sinxdx??cosxa??cosa， a2222a1111aP(X?a)??sinxdx??cosx0??cosa,
02222?可见cosa
?0，?a??2
什么是概率密度
打个很简单的比方:现在在一个盒子里面有1-10000这样的数字,你随便在里面拿出一个数字,出现个位数的
概率是9/10000,出现两位数的概率是9/1000,出现三位数的概率是90/1000出现四位数的概率是900/1000.出现五位数的概率是1/10000你不难发现:出现四位数的概率最大,也就是说它的概率密度大,出现五位数的概率最小,也就是说它的概率密度小. 概率密度的概念是:某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大.
在知道一个变量的概率密度后，有什么实际意义？
概率密度你可以直接理解成X取某一个值时，事件发生的概率，当然只是那一个点的概率，所以概率密度通过积分得概率分布函数，那就可以算出在某个区间内事件发生的概率.
概率密度函数f（x）在x取某一值时所得到的值有什么意义，反映了什么，能否用某一点的概率密度的值表示在该点附近的概率？
从数学上看，分布函数F(x)=P(X 二项分布即重复n次的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的，是独立的，与其它各次试验结果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努力试验。 二项分布.若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k). 排列数和组合数有什么不一样 组合数只取不排,排列数又取又排.假如从一位数中选出三个质数，有多少种选法。 这是一个组合问题，因为用不着考虑顺序，你选择2，3，5与你选择5，3，2是一样的。 而让你选出三个质数再组成三位数，这就有顺序了，此时235与532就不一样了。这就是排列问题。组合 的公式比排列的公式多 除以一个数据 什么时候用P什么时候用C？ 比如有5个元素（1，2，3，4，5），任取3个时.顺序没关系的时候用C，就是（1，2，3）和（3，2，1）一样.如过顺序有关用P，就是（1，2，3）和（3，2，1）不一样.P5(3)=C5(3)*P3(3)可以理解为先选出3个，再为3个元素排序. 16．设随机变量X~U[2,5]，现对X进行3次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率. 解设Y为三次观测中，观测值大于3的观测次数，则Y~B(3,p)，其中 p?P(X?3)?所求概率为 5?32?， 5?2323?2??1??2?20 P(Y?2)?P(Y?2)?P(Y?3)?C32????????33327??????当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧10,p≦0.1时，就可以用泊松公式近似得计算。 18．一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为?t的泊松分布。（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作了8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率。 解（1）设T的分布函数为FT(t)，则 FT(t)?P(T?t)?1?P(T?t) 事件(T?t)表示两次故障的间隔时间超过t，也就是说在时间t内没有发生故障，故N(t)?0，于是 (?t)0??tFT(t)?1?P(T?t)?1?P(N(t)?0)?1?e?1?e??t,t?0， 0!可见，T的分布函数为 ?1?e??t,t?0, FT(t)???0,t?0.即T服从参数为?的指数分布。 （2）所求概率为 P{T?16,T?8}P(T?16)e?16?P(T?16|T?8)????8??e?8?. P(T?8)P(?8)e ~N(108,32)。求 （1）P(101.1?X?117.6)；（2）常数a，使P(X?a)?0.90； （3）常数a，使P(|X?a|?a)?0.01。 117.6?108101.1?108)??() 解（1）P(101.1?X?117.6)??(33??(3?2)??(?2?3)??(3?2)??(2?3)?1 19．设随机变量X?0.9993?0.9893?1?0.9886； a?108)，查表知 （2）0.90?P(X?a)??(3a?108?1.28，所以a?111.84； 3（3）0.01?P(|X?a|?a)?1?P(|X?a|?a)?1?P(0?X?2a) 2a?108?1??(), 3所以 ?(2a?108)?0.99， 3查正态分布表知 2a?108?2.33， 3故a?57.495。 2 20．设随机变量X~N(2,?)，且P(2?X?4)?0.3，求P(X?0)。 4?2)??(0)， 解0.3?P(2?X?4)??(?