（4）
?x,0?x?1,?f(x)??2?x,1?x?2,
?0,其他.???x2dx??013201（4）EX21211x32822(2x?x)dx??x???3??1,
33133112114?(8?1)?(16?1)?, 4341222EX??xdx??(2x2?x3)dx?所以
141?1?. 126 20．设X,Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 DX??e?(y?5),y?5,?2x,0?x?1 fX(x)??fY(y)??0,其他;0,y?5.??求E(XY),解EX10D(XY)
2， 3??2x2dx?EY?6
（注：因为参数为1的指数分布的数学期望为1，而
fY(y)是前指数分布向右平移了
5个单位，所以
EY?1?5?6） 因X,Y独立，所以
2EXY?EXEY??6?4.
3今求DXY 方法1DXY22?EX2Y2?(EXY)2
10?EXEY?16??2x3dx?[DY?(EY)2]?16 1375?[1?36]?16??16??2.5. 222方法2 利用公式：当X,Y独立时
DXY?DX?DY?DX(EY)2?DY(EX)2
114?1??36?1??2.5. 1818931．设X,Y,Z为三个随机变量，且EX?EY?1,EZ??1,DX?DY?DZ?111?XY?0,?XZ?,?YZ??，若W?X?Y?Z求EW,DW.
22解EW?E(X?Y?Z)?EX?EY?EZ?1 ?DW?D(X?Y?Z)?DX?DY?DZ?2cov(X,Y)?2cov(X,Z)?2cov(Y,Z)
11?3?2??1?2??1?3.
22
，
39．设(X,的概率密度.
解(X,Y)的相关系数为?)Y为二维正态变量EX求(X,)Ycov(X,Y)?3，?1,EY?0,DX?4,DY?9，
?31?，所以(X,Y)的密度为 62?4?(x?1)2(x?1)?yy2????f(x,y)?exp???????
69??6?3??6?4?1?1?1?exp??(9x2?18x?6xy?6y?4y2?9)?
63??54?42．若DX?0.004，利用切比雪夫不等式估计概率P(|X?EX|?0.2).
DX0.004?1??0.9 2(0.2)0.04X1~N(20,3)10X2~N(20,3)15解由切比雪夫不等式
P(|X?EX|?0.2)?1?17．求总体N(20,3)的容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 解设
X1
和
X2
为两个独立样本的均值，则，于是
151)即X1?X2~N(0,) 302P(|X1?X2|?0.3)?1?P(|X1?X2|?0.3)
0.3?0.3?1??()??()
1/21/2X1?X2~N(0,?2?2?(0.42)?2?2?0.6628?0.6744
5．设总体的密度为
?(??1)x?,0?x?1,? f(x;?)??,其他.??0试用样本X1,X2,?,Xn求参数?的矩估计和极大似然估计.
解先求矩估计：
?1?EX??(??1)x??1dx?01??1??21??1x?,
0??2??2解出?得
??1?2?1,
?1?11?2XX?1所以?的矩估计为
???.
再求极大似然估计：
L(X1,?,Xn;?)??(??1)xi??(??1)n(x1x2?xn)?i?1n，
nlnL?nln(??1)???lnxii?1，
ndlnLn???lnxi?0， d???1i?1解得?的极大似然估计：
???(1??n?lnxi?1n).
i25．零件尺寸与规定尺寸的偏差
2X~N(?,?2)，令测得10个零件，得偏差值（单位：微米）2, 1, –2, 3,
2, 4, –2, 5, 3, 4，试求?,?的无偏估计值和置信度为0.90的置信区间。
110解?的无偏估计为X??Xi?2
10i?11?n2??的无偏估计为S???Xi?10?4??5.778
9?i?1?2
2?的置信区间为
(X?t0.05(9)SS,X?t0.05(9)) 1010X?2,S?2.404,t0.05(9)?1.8331所以?的置信度为0.90的置信区间为
(2?1.8331?10?3.1623
2.4042.404,2?1.8331?)?(0.6064,3.3935)；
3.16233.1623?2的置信区间为 ?(n?1)S2?2???/2(n?1)(n?1)S2?? 2?1??/2(n?1)?22?0.05(9)?16.919,?0.95(9)?3.325
所以?的置信度0.90下的置信区间为
2?52.002??16.91952.002???(3.075,15.6397).
3.325?2 2．某种零件的尺寸方差为?2对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：32.56, 29.66, 31.64, ?1.21，
30.00, 21.87, 31.03。设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米（?解问题是在?已知的条件下检验假设H0?0.05）.
:??32.50
H0的否定域为|u|?u?/2
其中
u?X?32.50?n?29.46?32.50?2.45??6.77
1.1u0.025?1.96，因|u|?6.77?1.96，所以否定H0，即不能认为平均尺寸是32.5毫米