所以?(2?)?0.8，
P(X?0)??(0?2?22)??(?)?1??()?0.2。
??28．设X解
（2）Y??2lnX~U(0,1)，求（1）Y?eX的概率密度；
的概率密度。
X的密度为
?1,0?x?1, fX(x)???0,其它.x（1）y?e在(0,1)上单调增，反函数为h(y)?lny，所以Y?1?,1?y?e, fY(y)??y?0,其他.?（2）
的密度为
y??2lnx在(0,1)上单调减，反函数为h(y)?e?y2，所以Y的密度为
y?1?2?e,y?0, fY(y)??2?0,y?0.?31．设随机变量X的概率密度为
?2x?2,0?x??, f(x)????0,其它.?求Y?sinX的概率密度.
解1函数在(y?sinx在(0,?2]上单调增，反函数为h1(y)?arcsiny
?2,?)上单调减，反函数为h2(y)???arcsiny.
Y的概率密度为：
fY(y)?f(arcsiny)?11?y2?f(??arcsiny)11?y2 12??2arcsiny1?2arcsiny???,0?y?1,2??222? ??1?y1?y?其他.?0,2?,0?y?1,?2 ???1?y?其他.?0,解设Y的分布函数为FY(y)，则
2
FY(y)?P(Y?y)?P(sinX?y)?P(X?arcsiny?X???arcsiny) ?P(X?arcsiny)?1?P(X???arcsiny)
?FX(arcsiny)?1?FX(??arcsiny)
所以
fY(y)?f(arcsiny)?11?y2?f(??arcsiny)11?y2 2?,0?y?1,?2 ???1?y?,其他.?0第四章
5．已知随机变量
X和Y的联合概率密度为
?4xy,0?x?1,0?y?1 f(x,y)???0,其它.求
X和Y的联合分布函数.
解1设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则
?0,?xy?4uvdudv,??0?0?xy?x1F(x,y)???f(u,v)dudv????4uydudy,????00??1y4xvdxdv,??0?0???1,?0,x?0或y?0,?22?xy,0?x?1,0?y?1,? ??x2,0?x?1,y?1,?2x?1,0?y?1,?y,?x?1,y?1.?1,解2由联合密度可见，
x?0或y?0,0?x?1,0?y?1,0?x?1,y?1,x?1,0?y?1,x?1,y?1.
X,Y独立，边缘密度分别为
?2x,0?x?1,?2y,0?y?1, fX(x)??fY(y)???0,其他;?0,其它.边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，则
FX(x)??x???0,x?0,?fX(u)du??x2,0?x?1,
?1,x?1.?y?0,?0,?fX(v)dv??y2,0?y?1,
?1,y?1.?FY(y)??y??
设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则
?0,x?0或y?0,?22?xy,0?x?1,0?y?1?F(x,y)?FX(x)?FY(y)??x2,0?x?1,y?1,
?2x?1,0?y?1,?y,?1,x?1,y?1.?7．设(X,Y)的概率密度为
?y??e,0?x?y, f(x,y)????0,其他.求边缘密度和概率P(X?Y?1)
解
????fX(x)??fY(y)??????x?0,?0,?0,x?0,?f(x,y)dy?????y???x
e,x?0.edy,x?0;????x?0,y?0,?0,y?0,??f(x,y)dx??y?y???y
edx,y?0;???ye,y?0.??0x?y?1P(X?Y?1)??1?2e?12??f(x,y)dxdy??120?1?xe?ydy?dx?2(e?x?e?1ex)dx ??x??0??1?e?1.
X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）已知
8．一电子仪器由两个部件组成，以联合分布函数为：
X,Y的
?1?e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),x?0,y?0? F(x,y)??其他.??0,（1）问
X,Y是否独立？为什么？
（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 解（1）先求边缘分布函数：
?1?e?0.5x,x?0, FX(x)?limF(x,y)??y???,x?0.?0?1?e?0.5y,y?0, FY(y)?limF(x,y)??x???,y?0.?0因为F(x,y)?FX(x)?FY(y)，所以X,Y独立.
（2）P(X?0.1,Y?0.1)?P(X?0.1)P(Y?0.1)?[1?P(X?0.1)][1?P(Y?0.1)] ?e?0.05?e?0.05?e?0.1.
18．设X,Y相互独立，其概率密度分别为
?e?y,y?0,?1,0?x?1, fX(x)??fY(y)???0,其他;?0,y?0.求
X?Y的概率密度.
的概率密度为
解1设Z?X?Y，由卷积分式，Z????fZ(z)??fX(z?y)fY(y)dy
?e?y,y?0,0?z?y?1,? fX(z?y)?fY(y)????0,其它.不等式y?0,0?z?y?1确定平面域D如图.
0时，fZ(z)?0 当z?z 当0?z?1时，fZ(z)??e?ydy
0z??e?y?1?e?z 01 z当z?10 时，fZ(z)??综上所述
zz?1?yey dy?e?z(e?1),
z?0,?0,?fZ(z)??1?e?z,0?z?1,
??z?e(e?1),z?1.解2变量代换法：
fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx，
令u?z?x注意到当0?x?1时fX(x)=1，有
fX(x)fY(z?x)dx??fY(z?x)dx?????01z?1zfZ(z)????因
zz?1?????fY(u)du
fY(u)du,
?0,u?0, fY(u)???u?e,u?0.所以，当z?0时，fZ(z)?0，
当0?z?1时，fZ(z)??e?udu?1?e?z，
0zz?1z当z?1时，fZ(z)??e?udu?e?z(e?1).
综上所述
z?0?0,?fZ(z)??1?e?z,0?z?1,
??z?e(e?1),z?1.解3分布函数法：设Z的分布函数为FZ(z)，则
FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z)???fX(x)fY(y)dxdy
y x?y?zx+?y=1 ?0,当z?0时,??????z0e?ydy??z?y0dx,当0?z?1时,
?10 z?x???0?0e?ydydx1 ,当zx ?1时,?x+y=0 ??0,z?0,?z?e?z?1,0?z?1, ??1?e?z?e?ze,z?1.Z的概率密度为
?fz)?F?0,Z(Z?(z)??1?e?z,??e?z(e?1),36．设X关于Y的条件概率密度为
f??3x2/y3,0?x?y,X|Y(x|y)???0,其他. ?而Y的密度为
f??5y4,0?y?1,Y(y)??? ?0,其他.求P(X?12)
解(X,Y)的概率密度为
f(x??15x2y,0?x?y?y ,y)?f(y)??1,X|Y(x|y)?fY? ?0,其他.P(X?1122)??1ydxdy
2?1x15x??115x21?x247121/2 ?21 dx?64x. 第五章 6．设随机变量
X分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差.
z?00?z?1,z?1.