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结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合的问题。因此，一般的有限元解法包括三个主要步骤：离散化、单元分析、整体分析。
2.4.1 离散化
一个复杂的弹性体可以看作由无限个质点组成的连续体。为了进行解算，可以将此弹性体简化为有限个单元组成的集合体，这些单元只在有限个节点上铰接，因此，这集合体只具有有限个自由度，这就为解算提供了可能。有无限个质点的连续体转化为有限个单元的集合体，就称为离散化。
2.4.2 单元分析
单元分析首先要进行单元划分。在工程结构中，一般采用四种类型的基本单元，即标量单元、线单元（杆、梁单元）、面单元和体单元。四种基本单元的若干例子及各单元节点自由度（节点位移）表示在图（1-1）中。而单元划分一般注意下面几点：
1) 从有限元本身来看，单元划分的越细，节点布置得越多，计算的结果越精确。但计算时间和计算费用的增加。所以在划分单元时对应兼顾这两个方面。
2) 在边界比较曲折，应力比较集中，应力变化较大的地方，单元应划分的细点，而在应力变化平缓处单元划分的大些。单元由小到大应逐渐过渡。
3) 对于三角形单元，三条边长应尽量接近，不应出现钝角，以免计算出现较大的偏差。对于矩形单元，长度和宽度也不应相差过大。
4) 任意一个三角形单元的角点必须同时也是相邻单元边上的角点，而不能是相邻单元边上的内点。划分其他单元时也应遵循此原则。
5) 如果计算对象具有不同的厚度或不同的弹性系数，则厚度或弹性系数突变之处应是单元的边线。
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图2-1 一些基本的有限元及相应的节点位移（→）和转动（→→）
6) 应力分布在载荷有突变之处或是受有集中载荷处布置点处，其附近的单元也应划分的小一点。
单元划分完毕后，要将全部单元及全部节点按一定顺序编号，单元号及节点号均不能有错漏或重复。
每个单元所受的载荷均按静力等效的原则移置到节点上，并在位移受约束的节点上根据实际情况设置约束条件。
单元分析的主要任务是：求出单元节点位移和节点力之间的转换关系。而对于一个复杂的弹性体，要用某种函数来描述整体内任一点的位移是不大可能的。但当把弹性体离散化为许多细小的单元，则在一个单元的局部范围内可以把某一点的位移近似表达为其坐标函数，这表达式称为单元位移模式。任何单元德单元分析都应首先确定其位移模式，然后逐渐推导出单元刚度矩阵，并同时求出单元内各点应变的方程。通过应变的方程推导出单元内各节点应力，最后，再根据虚功原理求单元节点力---即作用于节点的外
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力，同时得出节点位移求节点力的转换矩阵，即单元刚度矩阵，这样，单元分析就完成了。下面通过单元分析的公式示意图说明单元间各环节的关系。
e?D??B??B?t??F?en?1???????m?1???????m?1???????n?1
Tm?mm?n ?K?en?n??B?T?D??B?t?
图中注明了各矩阵得阶数。上式中 ???e―单元节点位移：
?B?―应变与位移关系矩阵矩阵； ???―单元内各点应变； ?D?―应力应变关系矩阵； ???―单元内各点应力；
t―单元厚度； ?F?e―单元节点力
?k?e―单元刚度矩阵
由此图得出
??的公式： 7) 由节点位移???求应力?e?????D??????D??B????e （1）
8) 由节点位移???求节点力?F?的公式：
ee ?F???B?????t??B??D????t???B??D??B?????t （2）
eTTTe或写成
?F?e??k?e???e （3）
eT?????D??B?t? （4） k?B其中
2.4.3 整体分析
整体分析就是建立各单元之间和整体结构之间的联系，建立起整体刚度矩阵：先对
e?k???k各个单元求出单元刚度矩阵，然后将其中的每个子块ij送到整体刚度矩阵中相应位置，在同一位置上若有几个单元的相应子块送到，则进行迭加以得到整体刚度矩阵的子块从而形成整体刚度矩阵[K]。然后，加入载荷向量{P}和边界条件，再根据整体结构
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矩阵可以求出整体结构的节点力向量和节点位移向量之间的关系。
整体刚度矩阵的建立是根据任一点中的第j个节点上的节点力等于该单元三个节点i，j，m的节点位移在节点j上的节点力之迭加。而在整体结构中一个节点往往为几个单元所共有，则在这个节点上的节点力就应该是：共有这节点的几个单元的所有节点位移在该节点上引起的节点力之迭加。
2.5 基本原理和数理概念
在工程技术领域中，绝大多数问题尽管已得到其基本方程和边界条件，但仍得不到解析解。于是引入简化假设，求得问题在简化状态下的近似解，由于问题的复杂性，这种近似解往往导致误差过大甚至是错误的结论。另辟蹊径的有限元法则是保留问题的复杂性，利用数值计算方法求得问题的近似数值解[14]。
有限元法一开始就对一个连续体用有限个（然而是大量的）坐标或自由度来近似地（然而是系统的）加以描绘。一个离散化的结构可由许多结构单元组成，这些单元仅在有限个结点上彼此铰结。每一单元所受的已知体力和面力都按静力等效原则移置到结点上，成为结点荷载。计算通常采用位移法，取结点的未知位移分量{δ}e 为基本未知量。为了在求得结点位移后可求得应力，必须建立单元中应力与结点位移的关系，由应力转换矩阵[S]表达。
首先利用弹性力学的几何方程写出单元应变与结点位移的关系矩阵，称应变矩阵 [B]，即
{?}e?[D]{?}e?[D][B]e?[S]{?}e {?}?[B]{?]e (5) 再由材料的本构关系（即物理方程），得到单元弹性矩阵[D]，从而推出用结点位移表示单元应力表达式
{ζ}e=[D]{ε}e =[ D][ B]{δ}e =[ S]{δ}e (6)
其中，[S] = [D][B]。
然后考虑结点平衡求得单元结点力与结点位移的关系，由矩阵[k]e 表示，称单元刚度矩阵。根据虚功原理或最小势能原理（平衡条件），也可导出用结点位移表示结点力的表达式
[F]e????[B]T[D][B]dxdydz{?}e?{k}e{?}e (7)
e其中，单元刚度矩阵
{k}e????[B]T[D][B]dxdydz?[B]T[D][B]V (8)
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利用虚功原理（或变分原理）可同时导出单元等效结点力{F}e。
有限元法是应用局部的近似解来建立整个定义域的解的一种方法。先把注意力集中在单个单元上，进行上述所谓的单元分析。基本前提是每一单元要尽可能小，以致其边界值在整个边界上的变化也是小的。这样，边界条件就能取某一在结点间插值的光滑函数来近似，在单元内也容易建立简单的近似解。因此，比起经典的近似法，有限元法具有明显的优越性。比如经典的 Ritz 法，要求选取一个函数来近似描述整个求解区域中的位移，并同时满足边界条件，这是相当困难的。而有限元法采用分块近似，只需对一个单元选择一个近似位移函数，且不必考虑位移边界条件，只须考虑单元之间位移的连续性即可。对于具有复杂几何形状或材料、荷载有突变的实际结构，不仅处理简单，而且合理适宜。 在经逐个单元（逐个结点）叠加其贡献予以集合（整体分析）后，生成结构刚度矩阵[K]（也称总刚）、荷载列阵{F}和结构结点位移列阵{δ}，并利用平衡条件建立表达结构的力-位移的关系式，即所谓结构刚度方程：
[K ]{δ}= { F } (9) 考虑几何边界条件作适当修改后，求解上式所示的高阶线性代数方程组，得到结构所有的未知结点位移（同矩阵位移法）。最后利用式（6）和已求出的结点位移计算各个单元的应力，并经后处理软件整理、显示计算结果。
单元内任一点位移与结点位移的关系，则由所选定的位移模式确定。
2.6 位移模式及形函数
为了能把单元的应变和应力用结点位移来表示，首先必须假定一个位移模式，也就是假定单元的位移分量为坐标的某种函数。当然，这些近似的假定函数在结点处的数值，应等于结点的位移分量。
2.6.1 等截面梁单元
用结点位移表示梁单元的位移模式，轴向位移u的位移模式取x的线性函数，而挠度 v 则用三次多项式表示，即
u=a0+a1x v=b0+b1x+b2x2+b3x3 (10) 或 u=[h(x)]{a} v=[H(x)]{b} (11) 式中，参数{a}和{b}是位移模式的待定常数，可以由结点位移来表示。 轴向结点位移、结点挠度和转角（如图 2-2所示）
{u}=[ui uj]T {v}=[vi θi vj θj]T (12)
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