（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标； （2）在平面PAD内求一点F，使EF?平面PCB．
15.如图所示，已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB＝90o，侧面AB1与侧面AC1所成的二面角为60°，M为AA ?A1MC1?30°，?CMC1?90°，AB?a．1上的点，
（1）求BM与侧面AC1所成角的正切值；
（2）求顶点A到面BMC1的距离．
16. 如图，斜三棱柱ABC?A1B1C1，已知侧面
B B 1
BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠
B1BC?60?，BC?BB1=2，若二面角A?B1B?C为
C
A
C 1 A1
30°，
（Ⅰ）证明AC?平面BB1C1C； （Ⅱ）求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值；
（Ⅲ）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P?BB1C为正三棱锥，并求P到平面BB1C距离
6
17. 已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面为正方形，o1,o分别为上、下底面
的中心，且A1在底面ABCD的射影是o。 （I）求证：平面o1DC?平面ABCD
（II）若点E,F分别在棱上AA1,BC上，且AE?2EA1，问点F在何处时，
EF?AD
（III）若?A1AB?60?，求二面角C?AA1?B的大小（用反三角函数表示）
答案：
1. （1）设D在AB的射影为O，则DO?平面ABC，
?DO?BC， 又BC?BA，?BC?平面ADB ?BC?AD，又AD?CD，?AD?平面BDC （2）由（1）AD?BD，又AD?1,AB?2，?BD?1 ?O为AB中点 以OB为x轴，OD为z轴，过O且与BC平行的直线为y轴建系，则
2222,0,0),B(,0,0),C(,2,0),D(0,0,) 2222????????????????????设n1?(x,y,z)为平面ACD的法向量，由n1?AC?0,n1?AD?0，可得n1?(1,?1,?1) A(????????????????n1?n23易知n2?(0,0,1)为平面ABC的法向量，cos?n1,n2???? ??????3n1?n23 3????????????????AC?AD1（3）cos?AC,AD???????????，所以所求角为60?
AC?AD2所以所求二面角为arccos2. （1）取AC中点F，连接DF．因为D是AC1的中点，所以DF∥CC1，且
DF?1CC1．又BB1//CC1，E是BB1的中点，所以DF∥BE，DF＝BE，所以四边形2BEDF是平行四边形，所以DE∥BF，DE＝BF．因为BB1⊥面ABC，BF?面ABC，
7
所以BB1⊥BF．又因为F是AC的中点，△ABC是正三角形，所以BF⊥AC，
BF?3a．因为BB1⊥BF，BB1∥CC1，所以BF⊥CC1，所以BF⊥面ACC1A1，2又因为AC1?面ACC1A1，所以BF⊥AC1，因为DE∥BF，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，所以DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段，且DE?3 （2）因为BB1//CC1，a．2DE⊥BB1，所以DE⊥CC1，又因为DE⊥AC1，所以DE⊥面ACC1A1．又DE?面AEC1，所以面AEC1⊥面ACC1，所以二面角E?AC1?C的大小为90°． （3）连接CE，则三棱锥A?CEC1的底面面积为S?CEC1a23?，高h?a．所以22VA?CEC11a2333???a?a．在三棱锥C1?AEC中，底面△AEC中，32212a25AE?CE?a，则其高为a，所以S?AEC?．设点C1到平面AEC的距离为d，
22由VA?CEC13a 21a2333a，所以d?a，即点C1到平面AEC的距离?VC1?AEC得d??32122为
3. （1）连AC，B1H，则EF∥AC，因为AC⊥BD，所以BD⊥EF．因为B1B⊥平面
ABCD，所以B1H⊥EF，所以∠B1HB为二面角B1?EF?B的平面角．在Rt△B1BH中，B1B?a，BH?BB2a．所以tan?B1HB?1?22． （2）在棱B1B上取
BH4中点M，连D1M，因为EF⊥平面B1BDD所以EF⊥D1M．在正方形BB1C1C中，1，因为M，F分别为BB1，BC的中点，所以B1F⊥C1M．又因为D1C1⊥平面BCC1B1，所以B1F⊥D1C1，所以B1F⊥D1M，所以D1M⊥平面EFB1． （3）设D1M与平面EFB1交于点N，则D1N为点D1到平面EFB1的距离．在Rt△MB1D1中，
8
3D1B124DB?D1N?D1M．因为D1B1?2a，D1M?a，所以D1N??a，故点
2D1M32114D1到平面EFB1的距离为a
34.
（1）∵A1ABB1是菱形，E是AB1中点， ∴E是A1B中点，
连A1C ∵F是BC中点， ∴EF∥A1C
∵A1C?平面A1ACC1，EF?平面A1ACC1， ∴EF//平面A1ACC1
（2）作FG⊥AB交AB于G，连EG ∵侧面A1ABB1⊥平面ABC且交线是AB ∴FG⊥平面A1ABB1，∴∠FEG是EF与平面A1ABB1所成的角
由AB=a，AC⊥BC，∠ABC=45°，得FG?2FB?a?BG
24 由AA1=AB=a，∠A1AB=60°， 得EG?3a ?tan?FEG?3,43??FEG?30?
（3）VA—BCE=VE—ABC 由②EG⊥AB，平面A1ABB1⊥平面ABC，∴EG⊥平面ABC
?VE?ABC113a3 ???AC?BC?EG?32485. 解法一：
（I）连接A1B、A1E，并延长A1E交AC的延长线于点P，连接BP。
由E为C1C的中点，A1C1∥CP 可证A1E＝EP
∵D、E是A1B、A1P的中点，∴DE∥BP 又∵BP?平面ABC，DE?平面ABC， ∴DE∥平面ABC 4分
（II）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点
∴BC⊥AF，又∵B1B⊥平面ABC， 由三垂线定理可证B1F⊥AF 设AB＝A1A＝a
339 则B1F2?a2，EF2?a2，B1E2?a2
244 ∴B1F2?EF2?B1E2，∴B1F⊥FE
9
∵AF?FE?F，∴B1F⊥平面AEF 9分
（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B1M ∵B1F⊥平面AEF，
由三垂线定理可证B1M⊥AE
∴∠B1MF为二面角B1—AE—F的平面角
C1C⊥平面ABC，AF⊥FC，由三垂线定理可证EF⊥AF 在Rt△AEF中，可求FM?30a 10 在Rt△B1FM中，∠B1FM＝90°，
BF ∴tan∠B1MF?1?5
FM ∴∠B1MF?arctan5
∴二面角B1—AE—F的大小为arctan5 14分 解法二：
如图建立空间直角坐标系O—xyz
令AB＝AA1＝4， 则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4） 2分 （I）同解法一 6分 （II）??B1F?(?2，2，?4)，EF?(2，?2，?2)
? AF?(2，2，0)
??B1F·EF?(?2)×2?2×(?2)?(?4)×(?2)?0
?? ∴B1F⊥EF，∴B1F⊥EF
?? B1F·AF?(?2)×2?2×2?(?4)×0?0 ?? ∴B1F⊥AF，∴B1F⊥AF
∵AF?FE?F，∴B1F⊥平面AEF 10分
（III）（★有个别学生按超出课本要求的方法求解，按此标准给分）
? 平面AEF的法向量为B1F?(?2，2，?4)，设平面B1AE的法向量为
10