113∴ VF?A1ED1?VD1?A1GE??A1D1?S?A1GE??2??1．
33212. （1）∵BC?平面BB1E， ∴平面BB1E?平面BCE， 又平面B1CE?平面BCE， ∴B1E?平面BCE，
∴CE?B1E，BE?B1E
∴∠BEC就是平面B1CE与平面B1BE所成二面角的平面角?。 设∠AEB=?，则∠A1B1E=? ∴AE=ABcot?=cot?， A1E=A1B1·tan?=tan? ∵AE+EA1=AA1=2, ∴cot?+tan?=2 ∴tan?=1. 即AE=A1E=1 在Rt△CBE中，BC=1，BE=2 ∴tan??12。 ?222 2∴??arctan11（2）在三棱锥C-AEB1中，S?AEB1??AE?A1B1?,CB?1,从而
22111VC?AEB1???1?
326在Rt△B1CE中，CE?BE2?BC2?3,EB1?2
S?B1EC?6 2设A到平面B1EC的距离为h,则
166VA?B1EC???h?h
326 16
∵VA?B1EC?VC?AEB1, ∴
61h? 666 6∴h?13. （I）设BC的中点为D，连结AD、DM，在正△ABC中，易知AD⊥BC，又侧面
BCC1与底面ABC互相垂直，∴AD⊥平面BCC1，即∠AMD为AM与侧面BCC1所成的角，∴∠AMD=α，
MD, ∴在Rt△ADM中，cosAMD=AM 依题意BM即为点B到度面ABC的距离， ∴BM=x，
1?4x21?4x2,?cos??且AM?1?x,DM?，
2221?x2由已知
即?6????4,所以cos?4?cos??cos?6,
23?cos??,2221?4x23???,22221?x 21?4x?2??3,1?x22解得?x?2,2即x的变化范围是[ （II）??2,2]； 2?6,即x?2时,即BM?2,?|AM|?3,
1由于AM?BC?(AB?BM)?BC?AB?BC?BM?BC?cos120??0??,2且AM?BC?|AM||BC|cos?AM,BC?,而|BC|?1,?cos?AM,BC???33,即AM与BC所成的角为arccos(?).66（还可按解答的图形所示作辅助线，用常规方法解决）
14.（1）如题图以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐
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标系?A（2，0，0）、B（2，2，0），C（0，2，0），设P（0，0，2m）?E（1，1，m），则AE?（-1，1，m），DP?（0，0，2m），cosDP，
AE?2m21?1?m2?2m?3． ?m?1，所以E点的坐标是（1，1，1）
3（2）F?平面PAD，可设F(x，0，z)?EF?(x?1，?1，z?1)，EF?平面PCB?EF?CB?(x?1，?1，z?1)?(2，0，0)?0?x?1．则
EF?PC?(x?1，?1，z?1)?(0，2，?2)?0?z?0，所以点F的坐标是（1，0，0），即点F是DA的中点．
15.（1）三棱柱ABC?A1B1C1为直棱柱，?BAC为二面角B1?AA1?C1的平面角，所以?BAC?60°，又?ACB?90°．BC?侧面AC1．连接MC，则MC是MB在侧面AC1上的射影．所以?BMC为BM与侧面AC1所成的角．又?CMC1?90°，
?A1MC1?30°，所以?AMC?60°．设BC?m，则AC?以tan?BMC?23m，MC?m．所
333．（2）过A作AN?MC．垂足为N，因为AN//MC1，所以AN//2面MBC1．面MBC?MBC1，过N作NH?MB，垂足为H，则NH是N到面MBC1AB?a，AC?的距离，也即A到MBC1的距离．
aCN，且?A2?30°，可得AN?a，4且?AMN?60°．所以
MN?33339a．NH?MN?sin?BMC?a??a．说明：本题（2）亦可12121352利用VA?MBC1?VB?AMC1来求解
16. （1） 面BB1C1C?面ABC，因为面BB1C1C?面BB1C1C＝BC，AC?BC，所以AC?面BB1C1C．
（2）取BB1中点E，连接CE,AE，在?CBB1中，BB1?CB?2,?CBB1?600
??CBB1是正三角形，?CE?BB1，又AC?面BB1C1C且BB1?面BB1C1C， ?BB1?AE，即?CEA即为二面角A?B1B?C的平面角为30°，
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?AC?CE，CA 中，在Rt?E ? AC?面BB1C1C，?CE?3,?AC?CE?tan300?1，
又AC?面BB1C1C，??CB1A即AB1与面BB1C1C所成的线面角， 在Rt?B1CA中，tan?CB1A?AC1? CB12 （3）在CE上取点P使1，
的重
CP12?P?，则因为CE是?B1BC的中线，1是?B1BCP1E1心，在?ECA中，过P1C1C，P1作P1P//CA交AE于P，? AC?面BB1P//CA
?PP1?面CBB1，即P点在平面CBB1上的射影是?BCB1的中心，该点即为所求，且
PP111?，?PP1?．
3AC317. （I）连AC,BD,A1C1，则O为AC,BD的交点，O1为A1C1，B1D1的交点。
由平行六面体的性质知：A1O1||OC且A1O1?OC ?四边形A1OCO1为平行四边形，
A1O||O1C 又?A1O?平面ABCD ?O1C?平面
ABCD
又?O1C?平面O1DC ?平面O1DC?平面ABCD
（II）作EH?平面ABCD，垂足为H，则EH||A1O，点H在直线AC上，
且EF在平面ABCD上的射影 为HF。
由三垂线定理及其逆定理，知EF?AD?FH||AB
?AE?2EA1，?AH?2HO，从而CH?2AH.又?HF||AB,?CF?2BF 从而EF?AD?CF?2BF ?当F为BC的三等分点（靠近B）时，有
EF?AD
（III）过点O作OM?AA1，垂足为M，连接BM。
?A1O?平面ABCD，?A1O?OB
又?OB?OA ?OB?平面A1AO。由三垂线定理得AA1?MB
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??OMB为二面角C?AA1?B的平面角。
在Rt?AMB中，?MAB?60? ，?MB?3AB 2又?BO?662 ??OMB?arcsin AB, ?sin?OMB?23二面角C?AA61?B的大小为arcsin3
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