?????n·AE?0 n?(x，y，z)，∴?
???n·BA?01??2y?z?0 即?
x?z?0?? 令x＝2，则z??2，y?1，∴n?(2，1，?2)
????n·B1F ∴cos?n，B1F?????|n|·|B1F|66? 69×24∴二面角B1—AE—F的大小为arccos6 66. （Ⅰ）∵ CD∥AB，AB?平面SAB ∴CD∥平面SAB面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF ∵?D?900,?CD?AD,又SD?面ABCD ∴SD?CD ?CD?平面SAD，∴CD?ED又EF?AB?CD ?EFCD为直角梯形
（Ⅱ）?CD?平面SAD,EF∥CD,EF?平面SAD ?AE?EF,DE?EF,??AED即为二面角
D—EF—C的平面角
ED?CD,?Rt?CDE中EC2?ED2?CD2而AC2?AD2?CD2且AC?EC
?ED?AD????ADE为等腰三角形，??AED??EAD?tg?AED?2
（Ⅲ）当CD?2时，?DMC为直角三角形
AB?AB?a,?CD?2a,BD?AB2?AD2?2a,?BDC?450 ?BC?2a,BC?BD ?SD?平面ABCD,?SD?BC,?BC?平面SBD
在?SBD中，SD?DB,M为SB中点，?MD?SB
?MD?平面SBC,MC?平面 SBC,?MD?MC??DMC为直角三角形
7. （I）?ABCD?A1B1C1D1是正四棱柱 ?D1D?平面ABCD
连AC，又底面ABCD是正方形 ?AC?BD
由三垂线定理知，D1B?AC
11
同理，D1B?AE，AE?AC?A ?D1B?平面AEC
（II）VB?AEC?VE?ABC
?EB?平面ABC
?EB的长为E点到平面ABC的距离 ?Rt?ABE~Rt?A1AB
……5分
AB29 ?EB??
A1A4?VB?AEC?VE?ABC?
1S?ABC?EB3
119???3?3?324
27 8 （III）连CF
? ?CB?平面A1B1BA，又BF?AE
由三垂线定理知，CF?AE
于是，?BFC为二面角B?AE?C的平面角
BA?BE9? 在Rt?ABE中，BF?AE55 在Rt?CBF中，tg?BFC?
35 ??BFC?arctg
35即二面角B?AE?C的正切角为
38. （1）如图，在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D， ∵ 侧面BA1⊥平面ABC，
∴ B1D⊥平面ABC，?B1BA是BB1与平面ABC所成的角，∴ ?B1BA＝60°．
∵ 四边形ABB1A1是菱形， ∴ △ABB1为正三角形，
12
∴ D是AB的中点，即B1在平面ABC上的射影为AB的中点． （2）连结CD，∵ △ABC为正三角形，
又∵ 平面A1B⊥平面ABC，平面A1B?平面ABC＝AB，
∴ CD⊥平面A1B，在平面A1B内，过D作DE⊥AB1于E，连结CE，则CE⊥AB1，
∴ ∠CED为二面角C-AB1-B的平面角．在Rt△CED中，CD?2sin60??3，连结BA1于O，则BO?3，DE? ∴ tan?CED?13， BO?22CD?2． ∴ 所求二面角C-AB1-B的大小为arctan2． DE （3）答：B1C?C1A，连结BC1， ∵ BB1CC1是菱形 ∴ BC1?B1C
∴ CD⊥平面A1B，B1D?AB， ∴ B1C⊥AB， ∴ B1C⊥平面ABC1， ∴ B1C⊥C1A．
aah9. （1）依题意，B（a，a，0），C（-a，a，0），D（-a，-a，0），E (?，，)，
2223aaha3ah ∴ BE?(?，?，)，DE?(，，)，
2222223aaa3ahh3a2h2? ∴ BE?DE?(??)?(??)????．
222222243a2ah1 |BE|?(??(?)2?()2?10a2?h2．
2222 |DE|?(3a2ah1)?()2?()2?10a2?h2． 2222 由向量的数量积公式，有
3a2h2??BE?DE?6a2?h224 cos(BE，DE）＝． ??221110a?h|BE|?|DE|10a2?h2?102?h222 （2）∵ ∠BED是二面角? -VC-? 的平面角，∴ BE?CV，即有
13
BE?CV?0
又由 C（-a，a，0），V（0，0，h），得CV?（a，-a，h），且BE?(??ah，)， 223a，232h22?0．即 h?2a． ∴ BE?CV??a?a?22?6a2?h2?6a2?(2a)21 此时有 cos(BE，DE)?． ???222210a?h310a?(2a)11 ?BED?(BE，DE）?arccos(?)?π?arccos．
3310. （1）连结AC交BD于O，则AC⊥BD．
又 ∵ A1A⊥平面AC， ∴ A1C⊥BD． ∵ B1C⊥BE而A1B1⊥平面B1C， ∴ A1C⊥BE． ∵ BD ?BE＝B， ∴ A1C⊥平面BED．
（2）连结A1D，由A1B∥CD知D在平面A1B1C内，由（1）是A1C⊥EB． 又∵ A1B1⊥BE，
∴ BE⊥平面A1B1C，即得F为垂足．
连结DF，则∠EDF为ED与平面A1B1C所成的角． 由已知AB＝BC＝3，B1B＝4，可求是B1C＝5，BF? ∴ CF?
12． 5916279，B1F?，则EF?，EC?． 5520415 ∴ ED?．
49 在Rt△EDF中，sin?EDF?，
259 ∴ ED与平面A1B1C所成的角为arcsin．
25
（3）连结EO，由EC⊥平面BDC且AC⊥BD知EO⊥BD． ∴ ∠EOC为所求二面角E-BD-C的平面角．
14
∵ EC?932，OC?， 42 ∴ 在Rt△EOC中，tan?EOC?EC32． ?OC432 ∴ 二面角E-BD-C的大小为arctan．
411.如图所示，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），
A（2，0，0），F（0，1，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），E（2，2，1）． （1）∵ AD?（-2，0，0），D1F?（0，1，-2），且AD?D1F??2×0＋0×1＋0×（-2）＝0 ∴ AD?D1F．
（2）AE=（0，2，1），D1F=（0，1，-2）设AE与D1F的夹角为?，
则cos??AE?D1F|AE|?|D1F|0?0?2?1?1?(?2)0?2?1222
2??0?1?(?2)22?0， ∴ ? ＝90°，即AE与D1F所成的角为直角． （3）由（1）知AD?D1F，由（2）知AE?D1F， ∴ D1F?平面AED．
又D1F?面A1FD1，∴ 面AED?面A1FD1． （4）设AB的中点为G，连结GE，GD1． ∵ FG∥A1D1，∴ FG∥面A1ED1． ∴ VF?A1ED1?VG?A1ED1?VD1?A1GE， ∵ AA1?2， ∴S?A1GE??2S?A1AG?S?BEG? 15 3， 2