c)特征方程?2?6??9?0，得到特征根?1,2?3，故对应的齐线性方程的基本解组
e3t为x1(t)?e，x2(t)?te，W(t)?3e3t3t3tte3t6t．取t0?0，由（5.31），得?e3t(1?3t)e特解
?(t)?? ?ett03t3stteex2(t)x1(s)?x1(t)x2(s)?e3t?se3ssf(s)ds??eds
0W(s)e6st1t13t13te?te?e， ?04241t3t所以得到通解x(t)?(c1?c2t)e?e．
43t(t?s)e?2sds?10．给定方程x???8x??7x?f(t)，其中f(t)在0?t???上连续，试利用常数变易公式，证明：
a)若f(t)在0?t???上有界，则上面方程的每一个解在0?t???上有界； b)若当t??时，f(t)?0，则上面方程的每一个解?(t)，满足?(t)?0（当t??时）．
证明 对应的特征方程??8??7?0有特征根?1,?7，故对应的齐线性方程的基本解组x1(t)?e，x2(t)?e?t?7t2e?t，W(t)??e?te?7t?8t．由公式（5.31）得原??6e?7t?7e方程的一个特解（t0?0）为
~(t)?? ??tt0?7t?stex2(t)x1(s)?x1(t)x2(s)e?e?te?7sf(s)ds??f(s)ds ?8s0W(s)?6et1?tts1e?ef(s)ds?e?7t?e7sf(s)ds，
00661?tts1?7tt7s?t?7t所以方程的任一解可写为?(t)?c1e?c2e?e?ef(s)ds?e?ef(s)ds．
0066a)由于f(t)在0?t???上有界，故?M?0，?t?[0,??)，有f(t)?M．又由
于0?e?t?1，0?e?7t?1，从而当t?[0,??)时，
tt1?t1?7ts?(t)?c1?c2?e?M?eds?e?M?e7sds
0066M?ttM?7t7te(e?1)?e(e?1) ?c1?c2?642MM4(1?e?t)?(1?e?7t)?c1?c2?M， 64221即方程的每一个解在0?t???上有界．
?c1?c2?b)当t??时，f(t)?0，故由
?(t)?c1e?c2ets?t?7t1?tts1?7tt7s?e?ef(s)ds?e?ef(s)ds
0066t1?ttss知，若?ef(s)ds有界，则e?ef(s)ds?0(t??)，若?ef(s)ds无界，由于f(s)0006在[0,??)连续，故
t?t0esf(s)ds为无穷大量，因此
t1?lime?t?esf(s)ds?lim00t??6t??6etesf(s)dsetf(t)1?lim?limf(t)?0， t??6et6t??1?tts1?7tt7seef(s)ds?0(t??)即总有．同理e?ef(s)ds?0(t??)．从而对方?0066程的每一个解?(t)，有?(t)?0(t??)．
11．给定方程组x??A(t)x，这里A(t)是区间[a,b]上的连续n?n矩阵．设?(t)是它的一个基解矩阵，n维向量函数F(t,x)在a?t?b,x??上连续，t0?[a,b]．试证明初值问题：
?x??A(t)x?F(t,x), （*） ???(t0)??的唯一解?(t)是积分方程组
x(t)??(t)??1(t0)????(t)??1(s)F(s,x(s))ds （**）
t0t的连续解．反之，（**）的连续解也是初值问题（*）的解．
证明 ?(t)是初值问题（*）的解，故??(t)?A(t)?(t)?F(t,?(t))，这说明F(t,x)是t的向量函数，于是由公式（5.27）得
?(t)??(t)??1(t0)????(t)??1(s)F(s,?(s))ds，
t0t即?(t)是积分方程组（**）的连续解．
反之，设?(t)是积分方程组（**）的连续解，则有
?(t)??(t)?(t0)????(t)??1(s)F(s,?(s))ds，
t0?1t两端对t求导，就有
??(t)???(t)??1(t0)????(t)???1(s)F(s,?(s))ds??(t)??1(t)F(t,?(t))
t0t ???(t)[??1(t0)???tt0??1(s)F(s,?(s))ds]?F(t,?(t))
?A(t)?(t)[??1(t0)???1?tt0??1(s)F(s,?(s))ds]?F(t,?(t))
?A(t)[?(t)?(t0)???(t) ?A(t)?(t)?F(t,?(t))， 即?(t)也是初值问题（*）的解．
??t0t?1(s)F(s,?(s))ds]?F(t,?(t))
§5.3 常系数线性微分方程组
习题5.3
1．假设A是n?n矩阵，试证：
a)对任意的常数c1,c2都有exp(c1A?c2A)?expc1A?expc2A； b)对任意整数k，都有(expA)k?expkA．
（当k是负整数时，规定(expA)k?[(expA)?1]?k．
2证明 a)因为 (c1A)(c2A)?c1c2A?(c2A)(c1A)，所以矩阵c1A与c2A可交换，故
exp(c1A?c2A)?expc1A?expc2A．
b)①先证明?k?N，有(expA)k?expkA，这只须对k施以数学归纳法．
1当k?1时，(expA)?expA?exp(1?A)成立，设当k时，(expA)k?expkA，则
当k?1时，有
(expA)k?1?(expA)kexpA?expkAexpA?exp(k?1)A，
故对一切自然数k，(expA)?expkA．
②(expA)?E?exp0?exp(0A)． ③若k是负整数，则?k?N，注意到(expA)阵?A，就有
?10k?exp(?A)，并由以上证明应用于矩
(expA)k?[(expA)?1]?k?[exp(?A)]?k?exp[?k(?A)]?expkA，
由①②③，对一切整数k，均有(expA)k?expkA．
2．试证：如果?(t)是x??Ax满足初始条件?(t0)??的解，那么
?(t)?[expA(t?t0)]?．
证明 由于
??(t)?[expA(t?t0)]???[expA(t?t0)]?A??，
?A{[expA(t?t0)]?}?A?(t)，
又?(t0)?[exp(A?0)]??E???，故?(t)?[expA(t?t0)]?是方程组x??Ax满足初始条件?(t0)??的解．由解的唯一性，命题得证．
3．试计算下列矩阵的特征值及对应的特征向量．
10??2?33??121??0???????12?01?． a)??43??； b)?4?53?； c)?1?11?； d)?0???4?42??201???6?11?6???????解 a)特征方程det(?E?A)???1?4?2??2?4??5?0，特征值?1??1，??3?u?1?2?5，对应于特征值?1??1的特征向量u???u??必须满足方程组(?A??1E)u?0，
?2??1?得到???0，u?????1??是对应于特征值?1??1的特征向量．
??类似地可求得对应于特征值?2?5的特征向量为v??? ???，其中??0的任意常数．
?1??2?b)特征方程
??2det(?E?A)??4?43?3?3?(??2)(??1)(??2)?0， ??2??54特征值?1??2，?2??1，?3?2．对应于特征值?1??2的特征向量u必须满足方
?0???u?????0程组(?A??1E)u?0，得到，?1?是对应于特征值?1??2的特征向量．
?1???类似地，可以求出对应于特征值?2??1以及?3?2的特征向量分别为
?1??1?????v???1? （??0的任意常数）和w???1? （??0的任意常数）．
?0??1?????c)特征方程
??1det(?E?A)??1?2?2?1?1?(??3)(??1)2?0， ??1?u1?????1的特征向量u??u2?必须满足方
?u??3???10特征值?1,2??1，?3?3．对应于特征值?1,2?2???程组(?A??1E)u?0，得???0，u????1?是对应于特征值?1,2??1的特征向量．
??2????2???类似地，可以求出对应于特征值?3?3的特征向量为v???1? （??0的任意常数）．
?2???d)特征方程
??1det(?E?A)?0?60?1?(??1)(??2)(??3)?0， 11??6?1???u????1?特征值?1??1，由(?A??1E)u?0，推出???0，?2??2，?3??3．
?1???是对应于特征值?1??1的特征向量．同样可求得对应于特征值?2??2和?3??3的特征
?1??1?????向量分别为v????2?（??0的任意常数）和w????3?（??0的任意常数）．
?4??9?????4．试求方程组x??Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A为：
?2?33??103???????21??12?4?5381?1???d)a)?b)c)； ； ； ????． ??12??43??????4?42??51?1?????