无锡市2009届高三第一学期期末质量调研
数学试题
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：如果事件A,B互斥，那么P?A?B??P?A??P?B?． A．必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
?1?M??xx??0?2??，N??x2x?1?0?，则MIN? ▲ ． 1． 设集合
2． 已知复数z满足z2＋1＝0，则（z6＋i）（z6－i）＝ ▲ ．
3． 在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以100后进行分析，得出新样本平均数为3，则估计总体的平均数为 ▲ ．
??axi?b?xi??axi?b,(S?)2?a2S2.xi说明：本题关注一下：
4． 幂函数
y?f(x)(?2,?1)8，则满足f(x)＝27的x的值是 ▲ ． 的图象经过点
5． 下列四个命题：
22①?n?R，n≥n； ②?n?R，n?n；
2③?n?R，?m?R，m?n；④?n?R，?m?R，m?n?m．
其中真命题的序号是 ▲ ．
说明：请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号．如果题中的集合R改成Z，真命题的序号是①④，如果R改成复数集C呢？
6． 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1?A1A2?A2A3???A7A8?1，如果把图乙A4 A3 a??OA,OA,?,OA,?A5 n2n中的直角三角形继续作下去，记1的长度构成数列，则此数列的通A6
1
A2
O 图
A1
ICME－7 图甲
A7 A8 项公式为an ＝ ▲ ．
说明：本题是课本中的习题改编，重在建立观察、归纳意识． 7． 以下伪代码： Read x
If x≤ 0 Then f(x)← 4x Else
x f(x)←2
End If Print f(x)
根据以上算法，可求得f(?3)?f(2)的值为 ▲ ．
说明：算法在复习中不应搞得太难，建议阅读《数学通报》2008．1中的一篇关于“四省”07年的高考中的算法的文章．
8． 在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A1，A2，A3，A4，A5，A6六个点．则 ????????????????????????????????????????????????????????????????????A1A2?A2A3?A2A3?A3A4?A3A4?A4A5?A4A5?A5A6?A5A6?A6A1?A6A1?A1A2＝ ▲ ．
???????|AA说明：此学生容易把两向量的夹角弄错．如改成12个点，边长ii?1|的求法就不一样了，难度会加大．
ft?π?f?t?π33．记 9． 若f(x)?Asin(?x??)?1 (??0,|?|<π)对任意实数t，都有
π)?g(g(x)?Acos(?x??)?1，则3 ▲ ． 说明：注意对称性．
10．已知函数f（x）＝loga| x |在（0，＋∞）上单调递增，则f（－2） ▲ f（a＋1）．（填写“<”，“＝”，“>”之一）
说明：注意函数y＝f（| x |）是偶函数．比较f（－2）与f（a＋1）的大小只要比较－2、 a＋1与y轴的距离的大小．
211．过抛物线y?2px(p?0)的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交准线于点C．若
????uuruuurCB?2BF，
则直线AB的斜率为 ▲ ．
说明：涉及抛物线的焦点弦的时候，常用应用抛物线的定义．注意本题有两解．
2
12．有一根长为6cm，底面半径为0.5cm的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为 ▲ cm． 说明：本题是由课本例题改编的．关键是要把空间问题转化为平面问题．
?x?y≥0,??2x?y≤2,??y≥0,?x?y≤a13．若不等式组? 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是 ▲ ．
说明：线性规划要注意数形结合，要综合运用多方面的知识．特别要注意区域的边界． 14．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝m（m?N*），则这样的三角形共有 ▲ 个（用m表示）． 说明：本题是推理和证明这一章的习题，考查合情推理能力．讲评时可改为c＝m再探究．本题也可以用线性规划知识求解． 填空题答案：
1x?1?x?1??22 2．2 3．0.03 4．3 5．④ 6．1．
n 7．－8 8．3 9．－
1
(0,1]U[4,??)310．< 11．?3 12．36?14π 13． 14．
2m(m?1)2
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
tanA2c1??tanBb． 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 （Ⅰ）求角A；
?cosB,2cos2C2，试求|m?n|的最小值． （Ⅱ）若m?(0,?1)，n
tanA2csinAcosB2sinC1???1??tanBbsinBcosAsinB，?????????????????3解：（Ⅰ）分
sinBcosA?sinAcosB2sinC?sinBcosAsinB， 即
??sin(A?B)2sinC1?cosA?2． ??????????????????5分 ∴sinBcosAsinB，∴
πA?3．????????????????????????7分 ∵0?A?π，∴（Ⅱ）m?n
2?(cosB,2cos2C?1)?(cosB,cosC)2，
2π1π?B)?1?sin(2B?)326．????10分
?|m?n|
∵
?cos2B?cos2C?cos2B?cos2(A?π2π2πB?C?B?(0,)3，∴3，∴3．
3
ππ7π??2B??66．???????????????????????12分 从而6ππ1sin(2B?)B?6＝1，即3时，|m?n|2取得最小值2．????????13分 ∴当
min?所以，|m?n|
22．????????????????????????14分
评讲建议：
本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，要求学生涉及三角形中三角恒等变换时，要从化角或化边的角度入手，合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中，要强调多元问题的消元意识，进而转化为函数的最值问题，注意定义域的确定对结论的影响，并指明取最值时变量的取值．
A
C1 16．（本小题满分14分） D直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形， ∠BAD＝∠ADC＝90°，AB?2AD?2CD?2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与 平面ACB1都平行？证明你的结论．
证明：（Ⅰ） 直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，?BB1⊥AC． ??????2分
又?∠BAD＝∠ADC＝90°，AB?2AD?2CD?2，
∴AC?2，∠CAB＝45°，∴BC?2，? BC⊥AC．????????????5分 又BB1?BC?B，BB1,BC?平面BB1C1C，? AC⊥平面BB1C1C． ??????7分 （Ⅱ）存在点P，P为A1B1的中点． ???????????????????????8分
1证明：由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1＝2AB．??????????????9分
D A C
B
B
1又∵DC‖AB，DC＝2AB，?DC ∥PB1，且DC＝ PB1，
∴DC PB1为平行四边形，从而CB1∥DP．?????????????????11分 又CB1?面ACB1，DP ?面ACB1，?DP‖面ACB1．????????????13分 同理，DP‖面BCB1．??????????????????????????14分 评讲建议：
本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这
4
里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的． 变题： 求证：（1）A1B⊥B1D；（2）试在棱AB上确定一点E，使A1E∥平面ACD1，并说明理由． 17．（本小题满分15分）
口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：
甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，
否则算乙赢．
（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率； （Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由． 解：（I）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为 （1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．????????2分
又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， ????????4分
51P(A)??255． ???????????????????????????6分 所以
1答：编号的和为6的概率为5．?????????????????????????7分 （Ⅱ）这种游戏规则不公平．??????????????????????????9分 设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， ?????????????????10分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个： （1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5）， （4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．
131312所以甲胜的概率P（B）＝25，从而乙胜的概率P（C）＝1－25＝25．????14分 由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平． ????????????15分 评讲建议：
本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．
引申：连续玩此游戏三次，若以D表示甲至少赢一次的事件，E表示乙至少赢两次的事件，试问D与E是否为互斥事件?为什么?（D与E不是互斥事件．因为事件D与E可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意；亦可分别求P（D）、P（E），由P（D）＋ P（E）>1可得两者一互斥．） 18．（本小题满分15分）
y2x?2?1(0?b?1)b已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、
2C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
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