（Ⅰ）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围；
（Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论． 解：（Ⅰ）设F、B、C的坐标分别为（－c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为
1?cb11x?y??(x?)2b2．????????????????????????2分 2，1?c?x?,??2?2?y?b?c.2b???????????????????????4分 ?联立方程组，解出?1?cb2?cm?n???0222b，即b?bc?b?c?0，即（1＋b）（b－c）>0，
∴ b>c． ????????????????????????????????6分
12e?22222．????????????????????7分 从而b?c即有a?2c，∴
2又e?0，∴0?e?2． ?????????????????????????8分
（Ⅱ）直线AB与⊙P不能相切．?????????????????????????9分
kPBb2?cb?2b?b2?c1?c0?2＝b(c?1)． ??????????????????10分
由kAB?b，
b2?c如果直线AB与⊙P相切，则b·b(c?1)＝－1． ???????????????12分
解出c＝0或2，与0＜c＜1矛盾，?????????????????????14分 所以直线AB与⊙P不能相切． ??????????????????????15分 评讲建议：
此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a，b，c的齐次等式得离心率的范围．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB与⊙P相切，则有AB2＝AF×AC，易由椭圆中a，b，c的关系推出矛盾． 19．（本小题满分16分）
1f(x)?x2－2x,g(x)?logax2已知函数（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果h(x)?f(x)?g(x) ??是增函数，且h(x)存在零点（h(x)为h(x)的导函数）．
（Ⅰ）求a的值；
g?(x0)?y2?y1x2?x1（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1 6 （g'(x) 为g(x)的导函数），证明：x1?x0?x2． 解：（Ⅰ）因为 h(x)?12x?2x?logax(x?0)， 21x2lna?2xlna?1h?(x)?x?2??xlnaxlna所以． ????????????????3分 因为h（x）在区间(0,??)上是增函数， x2lna?2xlna?1≥0xlna所以在区间(0,??)上恒成立． 2若0 ?又h(x)存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0矛盾． 所以a>1． 2?由xlna?2xlna?1?0恒成立，又h(x)存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0， 所以lna＝1，即a＝e． ??????????????????????????7分 g?(x0)?1x01y2?y1?x0x2?x1x0?x2?x1lnx2?lnx1（Ⅱ）由（Ⅰ），分 x1?，于是，．??????????9 以下证明 x2?x1lnx2?lnx1． （※） （※）等价于x1lnx2?x1lnx1?x2?x1?0． ?????????????????11分 令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，??????????????????????13分 r ′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x2］上为增函数． 当x1 从而x0?x1得到证明．??????????????????????????15分 x2?x2?x1lnx2?lnx1对于同理可证???????????????????????16分 所以x1?x0?x2． 评讲建议： 此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景， 7 作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．第二小题还可以这样证明： x2?1x1xx2x2?x1ln2x1??txxlnx?lnx1>1，令121，只要证明要证明，作函数h（x）＝t－1－lnt，下略． 20．（本小题满分16分） 已知数列 {an}中， a0?2,a1?3a,2?，6对且 n≥3时，有 an?(n?4)an?1?4nan?2?(4n?8)an?3． ?（Ⅰ）设数列{bn}满足bn?an?nan?1,n?N，证明数列{bn?1?2bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）记n?(n?1)???2?1?n!，求数列{nan}的前n项和Sn． （Ⅰ） 证明：由条件，得an?nan?1?4[an?1?(n?1)an?2]?4[an?2?(n?2)an?3]， 则an?1?(n?1)an?4[an?nan?1]?4[an?1?(n?1)an?2]．??????????????2分 即bn?1?4bn?4bn?1.又b1?1,b2?0，所以bn?1?2bn?2(bn?2bn?1)，b2?2b1??2?0． 所以{bn?1?2bn}是首项为?2，公比为2的等比数列． ?????????????4分 b2?2b1??2，所以bn?1?2bn?2n?1(b2?2b1)??2n． bn?1bn1???n?1nn?122．???????????????????6分 两边同除以2，可得2?bn?11?n?于是?2?为以2首项，－2为公差的等差数列． bnb11??(n?1),得bn?2n(1?n)n222．??????????????????8分 所以2nn?1n?1na?2?na?n2?n(a?2)c?a?2nn?1n?1nn（Ⅱ），令，则cn?ncn?1． ， ?cn?n(n?1)???2?1?c1?n(n?1)???2?1． 而c1?1n∴an?n(n?1)???2?1?2． ???????????????????????12分 nan?n?n?(n?1)???2?1?n2n?(n?1)!?n!?n?2n， 2nS?(2!?1!)?(3!?2!)???(n?1)!?n!?(1?2?2?2???n?2)．??????14分 n∴ 2n令Tn＝1?2?2?2???n?2， 8 ① 23nn?11?2?2?2???(n?1)?2?n?2则2Tn＝． ② n?12nn?1①－②，得?Tn＝2?2???2?n?2，Tn＝(n?1)2?2． ∴ Sn?(n?1)!?(n?1)2n?1?1．???????????????????????16分 评讲建议： 此题主要考查数列的概念、等差数列、等比数列、数列的递推公式、数列的通项求法、数列前n项和的求法，作新数列法，错项相消法，裂项法等知识与方法，同时考查学生的分析问题与解决问题的能力，逻辑推理能力及运算能力．讲评时着重在正确审题，怎样将复杂的问题化成简单的问题，本题主要将一个综合的问题分解成几个常见的简单问题．事实上本题包含了好几个常见的数列题．本题还有一些另外的解法，如第一问的证明还可以直接代． B．附加题部分 一、选做题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 选修4－1：几何证明选讲 E A B · O C 分 因为EA切?O于A， 所以∠EAB＝∠ACB．????3分 ??因为AB?AD，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD． ??如图，四边形ABCD内接于?O，AB?AD，过A点的切线交 CB 的延长线于E点． D 2求证：AB?BE?CD． 证明：连结AC．???????????????????1 E A B · O C D 于是∠EAB＝∠ACD．?????????????5分 又四边形ABCD内接于?O，所以∠ABE＝∠D． 所以?ABE∽?CDA． AB?BE于是CDDA，即AB?DA?BE?CD．??????9分 2所以AB?BE?CD．?????????????10分 选修4－2：矩阵与变换 y B' 如图所示， 四边形ABCD和四边形AB?C?D分别是矩形和平行四边 形，其中点的坐标分别为A（－1，2），B（3，2），C（3， 9 A C' B O D C x －2）， D（－1，－2），B?（3，7），C?（3，3）．求将四边形ABCD变成 四边形AB?C?D的变换矩阵M． ?1 0??k 1???解：该变换为切变变换，设矩阵M为?1 0??3??3??k 1???2???3???????，???????3分 则．??????????????????6分 ∴3k?2?3，解得 k?53．?????????????????????????9分 ?1 0??5?? 1??3??．???????????????????????????10分 所以，M为?说明：掌握几种常见的平面变换． 选修4－4：坐标系与参数方程 1?x?t?,??t(t为参数)?1?y?t?t?过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线?相交于A、B两点．求 线段AB的长． ?3x??3?s,??2(s为参数)??y?1s?2解：直线的参数方程为?，??????????????????3 分 1?x?t?,??t(t为参数)?1?y?t?22x?y?4．?????????????????5分 ?t?曲线可以化为 2将直线的参数方程代入上式，得s?63s?10?0． 设A、B对应的参数分别为s1，s2，∴s1?s2?63，s1s2?10．??????????8分 AB ?s1?s2?(s1?s2)2?4s1s2＝217．???????????????????10分 说明：掌握直线，圆，圆锥曲线的参数方程及简单的应用． 选修4－5：不等式选讲 10