n2?(?1)nnn而当n?3时，2n?n?1显然也成立，故?42?14?n?12nn(n?3)
?726当n?4时，令T又令A?12A?12524?52?15?62?16???n2?(?1)?524?625???n?12n
?625?72?6???n?12n2n
n?12n?1① ②
n?152A?562?6????126n?
n?12①－②：
523524125???12n?
?A??124?125???12n?11n?4[1?()]n?1516n?132?????nn128241?21∴ T?34
?C3?12?112?12?15764336937037∴ 所证式子左边??? ??35414014014又C1?C2?22?33?1?2?3?6435
即
14b1?(?1)?24b2?(?1)2?34b3?(?1)3???n4bn?(?1)n?3714
14解：（I）因为an?2n,则有an?1?an?2,n?N* 故数列{an}是“M
1,2类数列”， 对应的实常数分别为
． ???????????2分
因为bn?3?2n，则有bn?1?2bn n?N* 故数列{bn}是“M
2,0类数列”， 对应的实常数分别为
． ???????????4分
，
（II）（1）因为 an?an?1?3t?2n(n?N*) 则有a2?a3?3t?22a4?a5?3t?2??a2006?a2007?3t?2a2008?a2009?3t?24，
，
????????????.6分
20062008故数列{an}前2009项的和
S2009?a1+
?a2?a3?+?a4?a5????+?a2006?a2007?+?a2008?a2009?
?2?3t?22?3t?24????3t?22006?3t?22008?2?t?22010?4???????9分
若数列{an}是“M类数列”， 则存在实常数p,q 使
得
an?1?pan?q对于任意
n?N*都成
立，????????????????.10分 且有an?2?pan?1?q对于任意n?N*都成立，
因此?an?1?an?2??p?an?an?1??2q对于任意n?N*都成立， 而an?an?1?3t?2n(n?N*)，且an?1?an?2?3t?2n?1(n?N*)
则有3t?2n?1?3t?p2n?2q对于任意n?N*都成立，可以得到
t(p?2)?0,q?0，???????????????12分
①当p?2,q?0时，an?1?2an，an?2n，t?1，经检验满足条件. ②当t?0,q?0 时，an?1??an，an?2(?1)n?1，p??1经检验满足条件. 因此当且仅当t?1或t?0，时，数列?an?也是“M类数列”.对应的实常数分别
为
2,0, 或
?1,0． ????????????????????????14
分
15解：（Ⅰ）由题意，得f?e??pe?化
简
，
qe?2lne?qe?pe?2，
??1???0e?得
?p?q??e?，
?p?q. ????????????????????????2分
px?2lnx（Ⅱ）函数f?x?的定义域为?0,???.由（Ⅰ）知，f?x??px?f??x??p?px2，
?2x?px2?2x?px2. ??????????????????
????????3分
令h?x??px2?2x?p，要使f?x?在其定义域?0,???内为单调函数，只需h?x?在
?0,???内满足h?x??0或h?x??0恒成立.
（1）当p?0时，h?x???2x?0，?f??x??0.
?f?x?在?0,???内为单调减函数，故
p?0符合条
件. ???????????????????4分 （2）当p?0时，h?x?min时f??x??0.
?f?x??1?1??h??p???p?p?.只需p?1p?0，即p?1时h?x??0，此
在?0,???内为单调增函数，故
p?1符合条
件. ??????????????????6分
（3）当p?0时，h?x?max?h?0??p.只需p?0，此时f??x??0.
?f?x?在?0,???内为单调减函数，故p?0符合条件.
综上可
2ex得,
p?1或
p?0为所
求. ???????????????????????????8分 （Ⅲ）?g?x??g?x?max?2e在?1,e?上是减函数，?x?e时，g?x?min?2；x?1时，
.
即
g?x???2,2e?. ????????????????????????????
???????9分
（1）当p?0时，由（Ⅱ）知，f?x?在?1,e?上递减，f?x?max?f?1??0?2，不合题意. ???10分 （
x?12）当
0?p?1时，由
x??1,e?知，
1?1??0.?f?x??p?x???2lnx?x??2lnx. xx?x?x?1x?2lnx由（Ⅱ）知，当p?1时，f?x???f?x??x?1x?2lnx?e?1e?2?2单调递增，
不
合
题
，
意. ???????????????????12分
（3）当p?1时，由（Ⅱ）知f?x?在?1,e?上递增，f?1??0?2，
又g?x?在在?1,e?上递减，?f?x?max?g?x?min?2. 即p?e???2lne?2，?p??e??4e?1?4ee?12.
综上，p的取值范围是?16解：（1）f(??,???.??????????????????? 2e?1??)、f(?)在???上均为单调递增的函数. ??
13?0,?4??1分
对于函数f1(?)?sin??cos?，设
，则
?1??2,??,??1、?2??0?4??
f1(?1)?f1(?2)??sin?1?sin?2???cos?2?cos?1?，
?sin?1?sin?2,cos?2?cos?1，
?f1??1??f1??2?,?函数
f1(?)在
???上
单
?0,?4??增. ?? 3分
（2）? 原式左边
?2?sin6??cos6????sin4??cos4?? ?2?sin2??cos2???sin4??sin2??cos2??cos4????sin4??cos4??
?1?sin22??cos22?. 分
又?原式右边??cos2??sin2??2?cos22?.
? 2f6(?)?f4(?)??cos4??sin4???cos2??sin2??. 6分
（3）当n?1时，函数f1(?)在???上单调递增，
?0,?4?? ?
f1(?)的最大值为
，最小值为f???f1?0???1.
1??4??0? 当n?2时，
f2????1，? 函数f2(?)的最大、最小值均为
1.
当n?3时，函数f3(?)在???上为单调递增.
?0,?4?? ?
f3(?)的最大值为
，最小值为f???f3?0???1. 3?4??0?? 当n?4时，函数f?14(?)?12sin22?在?
?0,??上单调递减，?4?? ?
f4(?)的最大值为f4?0??1，最小调
递
?? 5
??
值为
???1f4????4?2. ?? 9分
下面讨论正整数n?5的情形： 当n为奇数时，对任意? ?
?1、?2??0,4???n??且?1??2,
fn(?1)?fn(?2)?sin?1?sin?21?n???cosn?2?cos?1n?，
.
以及 0?sin? ? sinn? ?
1?sin?2?1,n0?cos?2?cos?1?1，
n?sin?2,cos?2?cos?1n，从而
fn(?1)?fn(?2)fn(?)在???0,?4???上为单调递增，则 大
值
为
，
最
小
值
为
fn(?)的最
???fn???0?4?f4?0???1. ?? 11
分
n22 当n为偶数时，一方面有
fn(?)?sin??cos??sin??cos??1?fn(0)n.
另一方面，由于对任意正整数l?2，有 2f(?)?f(?)??cos2l?2??sin2l?2???cos2?2l2l?2?sin?2??0，
?fn(?)?12fn?2(?)???1n22?1f2(?)?1n22?1????fn???4?.
? 函数f(?)的最大值为f(0)?1，最小值为nn????1?fn???2???4??2?n.
综上所述，当n为奇数时，函数 当
?1?2???2?nfn(?)的最大值为0fn(?)，最小值为?1.
n为偶数时，函数
的最大值为1，最小值为
. ?? 13分
122rrrnnx?Cnx?????Cn(?1)x????Cnx] 17解答（1）f(x)?x2n?1[Cn0?Cn=x2n?1(1?x)n，??1分
2n?2n2n?1f?(x)?(2n?1)x(1?x)?x?n(1?x)=
x2n?2(1?x)n?1[2n?1?(3n?1)x]。??2分
令f?(x)?0