≥
即分
1Sm?1Sp(m?p2)?2mp?2mpmpk222222≥
2mp?mp?2mpmpk22222=0，
≥
2Sk．????????????????????????7
（3）结论成立，证明如下：
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn∵ Sm?Sp?2Sk?ma1?m(m?1)2d?pa1?22?na1?n(n?1)2d?n(a1?an)2，
p(p?1)2d?[2ka1?k(k?1)d]
2?(m?p)a1?m?p?(m?p)2d?[2ka1?(k?k)d]，
把m?p?2k代入上式化简得
m?p?2?(22m?p2)2Sm?Sp?2Sk=
2?d?(m?p)d42≥0，
∴ Sm+Sp≥2Sk．www.ks5u.com 又Sm?Sp?mp(a1?am)(a1?ap)4=
mp[a1?a1(am?ap)?am?ap]4am?ap2)]22
≤
?(m?p22)22[a1?2a1?ak?(422
Sk2)2k(a1?2a1ak?ak)42?k(a1?ak)42?(，
∴
1Sm?1Sp?Sm?SpSmSp≥
(2SkSk2)2?2Sk．
故原不等式得证．????????????????????????14分www.ks5u.com
22解：⑴当???1时，g(x)?lnx?x,(x?0) ∴g?(x)?1x?1?1?xx,(x?0)
令g?(x)?0，则x?1， ∴g(x)?lnx?x在(0, 1)上单调递增，在(1, +?)上单调递减 ∴
----------------------------4分 ⑵h(x)??x?2?x?lnx，h'(x)?2?x?2??2g(x)max?g(1)??1
1x?2?x?2?x?1x2，（x?0）
∴当??0时，h'(x)?0，∴函数h(x)的增区间为(0,??)，
当??0时，h'(x)?当x?当0?综上得，
???2?(x??????2?2?x2)(x??????2?2?2)，
??2?2?22时，h'(x)?0，函数h(x)是减函数； 时，h'(x)?0，函数h(x)是增函数。
x??????2?2?当??0时，h(x)的增区间为(0,??)； 当??0时，h(x)的增区间为
1x(0,?????2?2?2)，减区间为(?????2?2?2,??)
----------10分 ⑶当x?0，?'(x)???A?(?,??)；
在(0,??)上是减函数，此时?'(x)的取值集合
当x?0时，?'(x)?2?x??，
若??0时，?'(x)在(??,0)上是增函数，此时?'(x)的取值集合B?(??,?)； 若??0时，?'(x)在(??,0)上是减函数，此时?'(x)的取值集合B?(?,??)。 对任意给定的非零实数x，
①当x?0时，∵?'(x)在(0,??)上是减函数，则在(0,??)上不存在实数t（t?x），使得?'(x)??'(t)，则t?(??,0)，要在(??,0)上存在非零实数t（t?x），使得
?'(x)??'(t)成立，必定有A?B，∴??0；
②当x?0时，则t?(0,??)，要在(0,??)?'(x)?2?x??在(??,0)时是单调函数，上存在非零实数t（t?x），使得?'(x)??'(t)成立，必定有B?A，∴??0。 综
上
得
，
实
数
?的取值范围为
(??,0)。
-------------------16分 23