三向应力状态下：
1????????????xxyz??E??1????y??y????z??x??
E??1????????????xy??zEz????????5) 强度理论：
最大拉应力理论—第一强度理论：认为引起材料断裂的主要因素是最大拉应力。
强度条件：?1????，适用于脆性材料，其最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多。 最大拉应变理论—第二强度理论：认为引起材料断裂的主要因素是最大拉应变。
强度条件：?r2??1????2??3?????，适用于某些脆性材料在双向拉伸-压缩应力状态下，且最大压应力值超过最大拉应力值时。
最大切应力理论—第三强度理论：认为引起材料屈服的主要因素是最大切应力。
?max??1??32
强度条件：?r3??1??3????，适用于塑性材料
畸变能理论—第四强度理论：认为引起材料屈服的主要因素是畸变能。 畸变能密度：?d?强度条件：?r4??1??????6E1??2????2??3????3??1?
222?12??1??2?2???2??3?2???3??1?2????，适应于塑性材料。
单向与纯剪切组合应力状态的强度条件：
??1?122???????4?，?2?0 ??3?222按第三强度理论：?r3???4?????
??按第四强度理论：?r4?6)
?2?3?2????
FNMmax????? AWz弯拉（压）组合、弯扭组合与弯拉（压）扭组合的强度计算
弯拉（压）组合（包括偏心压缩）的强度条件（单向受力）：?max?弯扭组合的强度条件：?r3?M2?T2M2?0.75T2????，?r4?????
WW弯拉（压）扭组合的强度条件：?r3???M??N?2?4?2????
6
?r4???M??N?2?3?2????
5. 偏心拉伸（ 压缩 )与截面核心
作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起偏心拉伸或压缩，中性轴的位置也将发生改变，经计算推导可得到
7
中性轴的方程为1?eyyezz?2?0，分别令2iziyiy2iz2z0?0，y0?0；于是得ay??，az??
ezey即可得到中性轴和z轴y轴的交点坐标。
压杆的分类：
a)
细长压杆（即大柔度杆，
?2 E，用欧拉公式?cr? ???P）
?2b)
中长杆（即中柔度杆，
，采用经验公式 ?P????S）
??max??max斜弯曲
???F?Mz?My
AWzWy直线公式?cr?a-b?，式中系数a、b为与材料性能有关的常数。
抛物线公式?cr?a1-b1?2，（?P???0）系数a、b１为与材料性能有关的常数。 c) 短粗杆（即小柔度杆，
１
，用压缩强度公式（按强度问题处理）???S）
?cr??S
杆的临界压力：Fcr??cr?A，对于大柔度杆：
MymaxMzmaxMymaxMzmax?2EI?max?zmax?ymax???? F??cr?2IyIzWyWz???l?
矩形截面和圆形截面截面核心的位置
惯性半径：i?柔度：??I， A， 柔度越大对杆的稳定越不利，
??li柔度越小对杆的稳定越有利。 ?—长度系数，与杆端约束有关。
6. 压杆稳定（A—不需考虑被削弱的面积）：根据柔度将杆分为三大类，杆类型不同则其所采用的临界应力公式不同： 临界应力总图：
如何提高压杆的稳定性： ａ）合理选择材料－使用弹性模量Ｅ大的材料，对于钢材，其Ｅ值差别不大，对提高细长压杆
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的稳定性作用不大，但高强度钢材，其屈服极限明显增大，故对于短粗杆采用高强度钢材可大大提高其强度。
ｂ）合理选择截面－对于细长杆及中长杆，其柔度越大临界力越小，对杆的稳定越不利，柔度越小临界力越大，对杆的稳定越有利，而
????lAi???l?I，对于一定长度与支承方式的压杆，在横截面面积保持一定的情况下，应选择惯性矩较大的截面形状。在选择截面形状与尺寸的同时，还应考虑失稳的方向性。如果压杆两端为球形铰或固定端，宜选择主形心惯性矩Ｉy＝Ｉx的截面，若不然，应使得
???l?z?yI????l，即
???l?z??l?yzI。理
yI??zIyAA想的设计是使压杆在上述两个方向的柔度相等。
ｃ）合理安排压杆的约束与选择杆长—减少长度系数、减少支承长度，可提高压杆的临界力。
7. 以下哪些量与材料的物性关系有关：
摩擦系数、热膨胀系数、载荷、内力、内力偶矩、比例极限、屈服极限、名义屈服极限、强度极限、许用应力、极限应力、纵向变形系数、横向变形系数、泊松比、延伸率、断面收缩率、中性轴、惯性矩、极惯性矩、抗扭截面系数、抗弯截面系数、弹性模量E、剪切弹性模量G、临界力、惯性半径、柔度、材料的强度、材料的刚度、长度系数?。 8. 为工程技术解决实际问题：
1. 用静力平衡方程求外力（理论力学范畴） 2. 用截面法求内力 3. 根据内力求应力、应变 4. 为工程技术解决实际问题： a) 强度校核（刚度校核） b) 选择截面 c) 确定许用载荷 9. 实验结论分析：根据物性关系分析破坏截面
位置。
10. 压杆的稳定校核 稳定因数法
在压杆设计中，将压杆的稳定许用应力???st写做材料的强度许用应力???乘以一个随压杆柔度λ而改变的稳定因数??????，即???st??cr/nst
=???? 。
安全系数法
对于工程中的压杆，为保证其能安全正常工作而不丧失稳定，应使压杆实际承受的轴向压力F小于相应的临界压力，而且应具有一定的安全储备。故稳定条件为nw?FcrF?nst 其中 F 是压杆的工作压力 nw 压杆的工作安全因数
Fcr 压杆的临界压力 nst 规定的稳定安全因数
11. 在运用欧拉公式计算压杆临界压力或压应力时，必须判断杆的柔度λ和?p的关系是否满足???p。（λp是与比例极限
2?p对应的柔度） 由
?p?? E?p2可
求得?p
，其中Q235钢制成的压杆?p=101。 九. 能量法的总结 功能定理W?V? W??nFi?i Fi为广i?12义的力 ?i为广义的位移
应变能 1. 对于轴向拉压杆F等于杆的轴力FN，Δ等于杆的轴向变形?L?FNlEA所以应变能为V??F2Nl2EA 2. 对于扭转变形的圆轴F等于横截
面上的扭矩T，Δ等于轴两端的相对扭转角
TlT2??lGI，所以圆轴扭转的应变能为V??2GI
PP3. 对于纯弯曲的梁F等于横截面上的弯矩M，Δ等于梁两端截面的相对转角??MlEI，所以梁在纯弯曲时的应变能为V??M2l2EI
应变能密度 1. 单向应力状态下能量密度
2?????2??2E
2. 纯切应力状态下能量密度??????22?2G
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由应变能密度求解应变能V???V??dV
余能 Vc?Wc??F0?df 功和余功之和
W?Wc?F?
余能密度 ??c??0?d? 可以通过求余能密度
来求解余能大小。 卡式第一定理 Fk??V??? 应该认识到?k是k与Fk相对应的位移。
余能定理 ?k??Vc?F 对于线弹性体，弹性体k的余能数值等于应变能，进一步得到?k??V??F
k称为卡式第二定理。 为便于计算线弹性体杆件或杆系结构的位移，经推导可得到下列具体公式 对于拉压杆或桁架结构，有
?k??FN?x??FN?x?lEA?Fdx
k对于梁或平面钢架，有 ?k??M?x??M?x?lEI?Fdx k对于圆轴有 ?k??T?x??T?x?lGIp?Fdx
k单位载荷法
，有对于拉压杆或桁架结构，有
?k??FN?x?FN?x?lEAdx 对于梁或平面钢架，有 ?k??M?x?M?x?lEIdx 对于圆轴有 ?k??T?x?T?x?lGIdx
p值得注意的是FN?x? T?x? M?x?是在没有添加单位载荷前的计算结果。 十. 动载荷
对于作等加速度直线运动的构件，动载荷系数为
Kd?1?ag ， 杆件受冲击时动载荷系数为
Kd?1?1?2H?st， ?st代表将冲击物体自重视为静载荷作用在被冲击的弹性体上时相应
的静位移。Fd?KdFs ; ?d?Kd?st ;
?d?Kd?st
十一 . 附录A 平面图形的几何性质 bn
静矩和形心 Sy??AxdA Sx??AydA
形心坐标公式 x?SyA y?SyA 由上式可以看出，若截面对于其一轴的静矩等于零，则该轴必通过截面的形心；反之，截面对于通过其形心的轴的静矩恒等于零。 对于组合图形的静矩n等于每个图形的静矩之和，即 Sy??Aixi i?1nSx??Aiyi
i?1?nAixi组合图形截面形心坐标公式
x?i?1?n
Aii?1?nAiyiy?i?1n
?Aii?1极惯性矩Ip??A?2dA 惯性矩 Iy??Ax2dA
Ix??Ay2dA 由于 ?2?x2?y2，所以
Ip??A?2dA=?A?x2?y2?dA=Ix?Iy 惯性积
Ixy??xydA 惯性半径 iyy?IAA ix?IxA 平行移轴公式 Ix?Ixc?a2A Iy?Iyc?b2A Ixy?Ixcyc?abA
n组合截面的惯性矩即惯性积Ix??Ixi
i?1nnIy??Iyi Ixy??1?Ixyiii?110
惯性矩和惯性积的转轴公式
Ix1?Ix?Iy2?Ix?Iy2cos2??Ixysin2? Iy1?Ix?Iy2?Ix?Iy2cos2??Ixysin2?
Ix1y1?Ix?Iy2sin2??Ixycos2? 主惯性轴位置的确定 设?0角为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角则 tan2?0??2IxyIx?Iy
主惯性矩的计算公式 Ix0?Ix?Iy122?2?Ix?Iy??4I2xy Iy0?Ix?Iy2?12?Ix?Iy?2?4I2xy
十二 . 叠加法求挠度常用公式
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