∴曲边梯形的面积是 故答案为．
19．已知复数z=（m2﹣8m+15）+（m2﹣9m+18）i在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时，
（1）z为实数？z为纯虚数？ （2）A位于第三象限？
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A2：复数的基本概念． 【分析】（1）当复数的虚部等于0时，复数z为实数；当复数的实部等于0，且虚部不等于0时，复数z为纯虚数．
（2）当复数的实部和虚部都小于0时，复数对应点在第三象限，解不等式组求出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）当m2﹣9m+18=0，解得 m=3或m=6，故当 m=3或m=6时，z为实数． …
当m2﹣8m+15=0，且m2﹣9m+18≠0，即m=5时，z为纯虚数．… （2）当
20．已知二次函数f（x）=ax2+bx﹣3在x=1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y=0平行． （1）求f（x）的解析式；
即
… ，即3＜m＜5时，对应点在第三象限．
（2）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值． （3）求函数g（x）=xf（x）+4x在x∈[0，2]的最值．
6E：6B：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）由f（x）=ax2+bx﹣3，知f′（x）=2ax+b．由二次函数f（x）=ax2+bx﹣3在x=1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y=0平行，知
，由此能求出f（x）．
（2）由f（x）=x2﹣2x﹣3，知g（x）=xf（x）+4x=x3﹣2x2+x，所以g′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1）．令g′（x）=0，得g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值．
（3）由g（0）=0，g（2）=2，结合（2）的结论，能求出函数g（x）的最大值和最小值．
【解答】解：（1）∵f（x）=ax2+bx﹣3， ∴f′（x）=2ax+b．
∵二次函数f（x）=ax2+bx﹣3在x=1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y=0平行， ∴
，
，x2=1．列表讨论能求出函数
解得a=1，b=﹣2．所以f（x）=x2﹣2x﹣3． （2）∵f（x）=x2﹣2x﹣3， ∴g（x）=xf（x）+4x=x3﹣2x2+x，
所以g′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1）． 令g′（x）=0，得
x （﹣∞，） g′（x） g（x） + ↑ 0 极大值 ，x2=1．
1）（，1 （1，+∞） ﹣ ↓ 0 极小值0 + ↑
所以函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，），（1，+∞）．在x2=1有极小值为0． 在
有极大值
．
（3）∵g（0）=0，g（2）=2，
∴由（2）知：函数g（x）的最大值为2，最小值为0．
21．已知数列
，
，
，…
，…，Sn为数列的前n项和
（1）计算S1，S2，S3，S4并猜想计算Sn的公式 （2）用数学归纳法证明（1）的猜想． 【考点】RG：数学归纳法．
【分析】（1）计算S1，S2，S3，S4的值，根据规律猜想Sn；
（2）先验证n=1猜想成立，假设n=k猜想成立，再推导n=k+1猜想成立即可． 【解答】解：（1）S1=S3=
+
+．
=，S2=
+
++
=， +
=，
=，S4=
猜想：Sn=
（2）显然n=1时，猜想成立； 假设n=k（k≥1）时猜想成立，即Sk=∴Sk+1=Sk+
=
+
=，
=
．
∴当n=k+1时猜想成立． ∴对任意n∈N+，猜想都成立．
22．在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为
，试求：
（1）切点A的坐标； （2）过切点A的切线方程．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求切点A的坐标及过切点A的切线方程，先求切点A的坐标，设点A的坐标为（a，a2），只须在切点处的切线方程，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而得到切线的方程进而求得面积的表达式．最后建立关于a的方程解之即得．
（2）结合（1）求出其斜率k的值即可，即导数值即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：（1）如图示：
，
设点A的坐标为（a，a2），过点A的切线的斜率为k=y'|x=a=2a，
故过点A的切线l的方程为y﹣a2=2a（x﹣a），即y=2ax﹣a2，令y=0，得x=， 则S=S△ABO﹣S△ABC=﹣（??a2﹣∴a=1
∴切点A的坐标为（1，1），
（2）由（1）得：A的坐标为（1，1）， ∴k=2x=2，
∴过切点A的切线方程是y=2x﹣1．
x2dx）=
﹣
=
=
，
2017年7月28日
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