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频率组距0.520.40a0.160.120.080.0400.511.522.533.544.5月均用水量（吨）
（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.
【答案】（Ⅰ）a?0.30；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9．
试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04， 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30． （Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12． 由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000．
（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85， 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85， 所以2.5≤x<3．
由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73， 解得x=2.9．
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 考点：频率分布直方图.
【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力.在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．
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17. （本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且（I）证明：sinAsinB?sinC； （II）若b?c?a?222cosAcosBsinC??. abc6bc，求tanB. 5【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.
试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C． 代入
abc===k(k>0)． sinAsinBsinCcosAcosBsinC+=中，有 abccosAcosBsinC+=，变形可得
ksinAksinBksinCsin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．
在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C， 所以sin Asin B=sin C． （Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=
6bc，根据余弦定理，有 5b2?c2?a23cos A==
52bc所以sin A=1?cos2A=
4． 5由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，
443sin B=cos B+sin B， 555sinB?4． 故tanB?cosB所以
考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行
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边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为180?这个结论，否则难以得出结论． 18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，?ADC=?PAB=90°，BC=CD=边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.
（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由； （Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
P1AD，E为2BCAED
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
1. 3试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.
延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下： 由已知，BC∥ED，且BC=ED.
[来源:]所以四边形BCDE是平行四边形.，所以CD∥EB 从而CM∥EB.
又EB?平面PBE，CM?平面PBE， 所以CM∥平面PBE.
（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点） （Ⅱ）方法一：
由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA所以CD⊥平面PAD. 从而CD⊥PD.
AD=A，
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所以所以
PDA是二面角P-CD-A的平面角. PDA=45°.
设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.
过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH. 易知PA⊥平面ABCD， 从而PA⊥CE. 于是CE⊥平面PAH. 所以平面PCE⊥平面PAH.
过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE. 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角. 在Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1， 所以AH=2. 232 ， 2在Rt△PAH中，PH=PA2?AH2=所以sin∠APH=
AH1 =. 3PH
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????????????所以PE=（1,0,-2），EC=（1,1,0），AP=（0,0,2）
设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，
???????????x?2z?0,?n?PE?0,由???? 得? 设x=2，解得n=(2,-2,1). ??x?y?0,??n?EC?0,?????21|n?AP|???? =设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα=? . |n|?|AP|2?22?(?2)2?123所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为
1 . 3zPMyABCEDx
考点：线线平行、线面平行、向量法.
【名师点睛】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，
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