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而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），一种方法可根据定义作出这个角（注意还要证明），然后通过解三角形求出这个角．另一种方法建立空间直角坐标系，用向量法求角，这种方法主要是计算，不需要“作角、证明”，关键是记住相应公式即可． 19. （本小题满分12分）
已知数列{an }的首项为1，Sn 为数列{an}的前n项和，Sn?1?qSn?1 ，其中q>0，
n?N* .
（Ⅰ）若2a2,a3,a2?2 成等差数列，求{an}的通项公式；
y24n?3n5（Ⅱ）设双曲线x?2?1 的离心率为en ，且e2? ，证明：e1?e2?????en?
33n?1.an2【答案】（Ⅰ）an=qn-1；（Ⅱ）详见解析.
（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到en的表达式，再由e2?5解出q的值，要证明题设3不等式，一般想法是求出和e1?e2?L?en，但数列{en}的和不可求，因此我们利用放缩法得en?qn?1，从而有e1?e2?L?en?1?q?L?q此和即为要证不等式的右边．
最后利用等比数列的求和公式计算证明.
试题解析：（Ⅰ）由已知，Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 两式相减得到an+2=qan+1,n?1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1，故an+1=qan对所有n31都成立. 所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列.
[来源:]n?1，右边的和是等比数列的和，可求，
从而an=qn-1.
由2a2，a3，a2+2成等比数列，可得2a3=3a2+2，即2q2=3q+2,，则(2q+1)(q-2)=0， 由已知,q>0，故 q=2. 所以an=2n-1(n?N*). （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
.
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所以双曲线的离心率 .
由因为
解得，所以
.
.
于是，
故
.
考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式.
【名师点睛】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第（Ⅰ）问中，已知的是Sn的递推式，在与Sn的关系式中，经常用n?1代换n（n?2），然后两式相减，可得an的递推式，利用这种方法解题时要注意a1；在第（Ⅱ）问中，不等式的证明用到了放缩法，这是证明不等式常用的方法，本题放缩的目的是为了求数列的和．另外放缩时要注意放缩的“度”．不能太大，否则得不到结果． 20. （本小题满分13分）
x2y2已知椭圆E：2?2?1(a?b?0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶
ab点，直线l:y??x?3与椭圆E有且只有一个公共点T. （Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数?，使得PT2??PA?PB，并求?的值.
x2y24
??1，点T坐标为（2,1）；（Ⅱ）??. 【答案】（Ⅰ）
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试题解析：（I）由已知，a2?a2?(2c)2，即a?2c，所以a?2b，则椭圆E的方程
x2y2为2?2?1. 2bb?x2y2??1,?由方程组?2b2b2 得3x2?12x?(18?2b2)?0.①
?y??x?3,?方程①的判别式为?=24(b2?3)，由?=0，得b2=3， 此方程①的解为x=2，
x2y2??1. 所以椭圆E的方程为63点T坐标为（2,1）.
（II）由已知可设直线l? 的方程为y?1x?m(m?0)， 22m?
1x?2?，???y?x?m，?3
有方程组? 可得? 22m?y?1??.?y??x?3，?3?
所以P点坐标为（2?2m2m822,1? ），PT?m. 339设点A，B的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2) .
?x2y2
??1，??6322由方程组? 可得3x?4mx?(4m?12)?0.②
?y?1x?m，??2
由②得.
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所以 ，
同理，
所以
.
故存在常数??42，使得PT??PA?PB. 5考点：椭圆的标准方程及其几何性质.
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为
(x1,y1),(x2,y2)，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得x1?x2,x1x2，再把
PA?PB用x1,x2表示出来，并代入刚才的x1?x2,x1x2，这种方法是解析几何中的“设而
不求”法．可减少计算量，简化解题过程． 21. （本小题满分14分） 设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R. （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f(x)?为自然对数的底数).
11?x?e在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718?x（0,【答案】（Ⅰ）当x?11)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x?（，+?)时，2a2a第19页
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f'(x)>0，f(x)单调递增；（Ⅱ）a?[,?).
1212ax2?1(x?0). 试题解析：（I）f'(x)?2ax??xx（0，+?） f'(x)<0，f(x)在内单调递减. 当a?0时，当a?0时，由f'(x)=0，有x?1. 2a此时，当x?（0,1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减； 2a当x?（1，+?)时，f'(x)>0，f(x)单调递增. 2a11?x?1，s(x)=ex?1?x. xe（II）令g(x)=则s'(x)=ex?1?1.
而当x?1时，s'(x)>0，
所以s(x)在区间（1，+?)内单调递增. 又由s(1)=0，有s(x)>0， 从而当x?1时，f(x)>0.
当a?0，x?1时，f(x)=a(x2?1)?lnx?0. 故当f(x)>g(x)在区间（1，+?)内恒成立时，必有a?0. 当0?a?11时，>1. 22a第20页
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考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.
【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求f'(x)，解方程f'(x)?0，再通过f'(x)的正负确定f(x)的单调性；要证明函数不等式f(x)?g(x)，一般证明f(x)?g(x)的最小值大于0，为此要研究函数h(x)?f(x)?g(x)的单调性．本题中注意由于函数h(x)有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．
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