高三（新课标）第一轮复习教案 第十六章 导数及其应用 华中师大一附中 黄松生
第四讲 定积分与微积分基本定理
教学目的：通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的
定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；了解微积分基本定理的含义，会用牛 顿- 莱布尼兹公式求简单的定积分；掌握定积分在几何及物理中的应用
教学重点：理解掌握定积分的几何意义；会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分；掌握定积分在几何及
物理中的应用
教学难点：会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分；掌握定积分在几何及物理中的应用
【知识概要】
知识点1 定积分的概念
一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a?x0?x1?x2???xi?1?xi???xn?b 将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为?x（?x?b?an），在每个小区间?xi?1,xi?上取一点
?i?i?1,2,?,n?，作和式：Sn?nn?i?1f(?i)?x??i?1b?anf(?i)
如果?x无限接近于0（亦即n???）时，上述和式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数记为：S?f(x)在区间[a,b]上的定积分。为积分区间，b积分上限，a积分下限。
指出：（1）定积分?f(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n???时）称为?abba?bax叫做积分变量，其中f(x)成为被积函数，f(x)dx。[a,b]f(x)dx，
而不是Sn．
（2）用定义求定积分的一般方法是：
① 分割：n等分区间?a,b?； ② 近似代替：取点?i??xi?1,xi?；
n③ 求和：?i?1b?anf(?i)； ④ 取极限：?f(x)dx?limabnn???i?1f??i?b?an
ba（3）曲边图形面积：S??baf?x?dx；变速运动路程S??t2t1v(t)dt；变力做功 W??F(r)dr
知识点2 定积分的几何意义
如果在区间[a,b]上函数连续且恒有f(x)?0，那么定积分?f(x)dx表示
ab由直线x?a,x?b（a?b），y?0和曲线y?f(x)所围成的曲边梯形的面积。
指出：一般情况下，定积分?f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的
ab图形以及直线x?a,x?b之间各部分面积的代数和，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，
在x轴下方的面积等于该区间上的积分值的相反数．
第四讲 定积分与微积分基本定理
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知识点3 定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1 性质2 性质3
?bab1dx?b?a
kf(x)dx?k?f(x)dx （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）
ab?aba?b[f1(x)?f2(x)]d?xc?babf(x)?dx1?ba2 x （定积分的线性性质） f( x) d b（定积分对积分区间的可加性） ?a? c )性质4
?af(x)dx??af(x)d?x?c(f)x其dx(中b性质5 若f(x)?0,x??a,b?，则?f(x)dx?0（以下性质，仅供老师参考）
a推论1：f(x)?g(x)，?f(x)dx??g(x)dx ?a?b?
aabb推论2：?f(x)dx?ab?bag(x)dx ?a?b?
性质6设M,m为f(x)在?a,b?上的最大值、最小值，则m(b?a)?ba?baf(x)dx?M(b?a)
性质7（中值定理）若f(x)??a,b?，则至少有一???a,b?，使?f(x)dx?f(?)(b?a).
m?证：由性质6知，
b1b?a?baf(x)dx?M，依介值定理，必有???a,b?，使
1b?a?baf(x)dx?f(?)，
即?f(x)dx?f(?)(b?a)。
a指出：① 推广：?[f1(x)?f2(x)???fm(x)]dx?ab??baf1(x)dx?f(x)dx?baf2(x)dx????bafm(x)
② 推广:?f(x)dx?ab?c1af(x)dx??c2c1f(x)dx???bck
知识点4 微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）
一般地，如果f(x)是在区间[a, b]上的连续函数，且F'(x)?f(x)．则?f(x)dx?F(b)?F(a)
ab证：因为?(x)=?f(t)dt与F(x)都是f(x)的原函数，故F(x)-?(x)=C（a?x?b）
ax其中C为某一常数。
令x?a得F(a)-?(a)=C，且?(a)=?f(t)dt=0，即有C=F(a)，故F(x)=?(x)+F(a)
aa??(x)=F(x)-F(a)=?f(t)dt，令x?b，有?f(x)dx?F(b)?F(a)。
aaxb指出：为了方便起见，还常用F(x)|a表示F(b)?F(a)，即?f(x)dx?F(x)|a?F(b)?F(a)
abbb一个函数的导数是惟一的，而其函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分
基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
第四讲 定积分与微积分基本定理
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求定积分的方法：
（1）利用定义求定积分（定义法），（可操作性不强）
（2）利用微积分基本定理求定积分，步骤如下：
① 求被积函数f(x)的一个原函数F(x)； ② 计算F(b)?F(a)． （3）利用定积分的几何意义求定积分：
当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．如：定积分?单位圆面积的
14101?xdx的几何意义是求
2，所以
?11?xdx?2?4．
0
【基础题典例解析】
例1 （定积分的概念的应用）
求y?2x?x2,y?0,0?x?2围成图形面积
解：1. 分割：在区间?0,2?上等间隔地插入n?1个点，将区间?0,2?等分成n个小区间： ?2?i?1?2i??2?n?1??2???24?,?(i?1,2,?,n)，其长度为 ,1?. 记第i个区间为?，，…，??0,n??n,n?nnn?????????x?2in?2?i?1?n?2n.分别过上述n?1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分
n别记作：?S1，?S2，…，?Sn, 显然，S???Si?1i.
?2?i?1?2i?,?(i?1,2,?,n)上，（2）近似代替： ∵y?2x?x2，当n很大，即?x很小时，在区间?nn??可以认为函数y?2x?x的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点
222?i?1?n处
?2?i?1?2i??2?i?1???2?i?1??,?上，用小矩形的面积?Si?近似的代替的函数值2?????，这样，在区间?nnnn????????2?i?1???2?i?1??2??Si，即在局部范围内“以直代取”，则有?Si??Si???2????????x
nn??????????2?i?1???2?i?1??2?2??2??????? ①
nnn????????（3）求和： 由①，上图中阴影部分的面积Sn为
nni?Sn???S???i?1i?1??2?i?1???2?i?1??2?2ni?1?i?1?2?2????=4??1?????n???
nnnn???ni?1???????第四讲 定积分与微积分基本定理
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n=
8n3?i?188222?n?i?1???i?1?2?= 0?1?2???n?1?1?2???n?1??????3???n2?n??=
8n?n?1?n22?8n3?n?1?n?2n?1?6,从而得到S的近似值 S?Sn?n8n?n?1?n22?8n3?n?1?n?2n?1?6
?8n?n?1?8?n?1?n?2n?1??4（4）取极限 S?limSn?lim??2?3??. n??n??2n6i?1?n?3例2 （用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分） （1）?(x?2x?1)dx；
122
（2）?(sinx?cosx)dx；
0?（3）?(x?x2?)dx；
121x
?（4）?(cosx?ex)dx
??0（5）?(x?x)dx；
012 （6）?2?sin2?2x2dx； （7）?|3?2x|dx．
12（8）?sinxdx； （9）?0?2??2sinxdx； （10）?2?0sinxdx。
解：（1）?(x?2x?1)dx?122?2xdx?21?2x?1?dx?11?2x32223??x121?x1?194．
（2）?(sinx?cosx)dx??sinxdx??cosxdx?(?cosx)0002?????sinx00?2．
（3）?(x?x?)dx?121x?2xdx?1?2xdx?21?21xdx?x202?1x222130?lnx11?32?73?ln2?ln2?56．
（4）?(cosx?e)dx??cosxdx?????0x0???0edx?sinx??x?ex???1?1e?．
指出：计算一些简单的定积分，解题的步骤是：
（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差； （2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；
（4）利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值．
计算?f(x)dx的关键是找到满足F'(x)?f(x)的函数F(x)．其中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆
ab向使用得到．
（5）?(x?x)dx?(x?012131213x)02??16．
?????（6）先对sin2x2?2进行变式；?2?sin?2x2dx??21?cosx2dx?20?212dx?0?2cosx2dx?2?12x2?2?12?sinx20
4
00第四讲 定积分与微积分基本定理
高三（新课标）第一轮复习教案 第十六章 导数及其应用 华中师大一附中 黄松生 ?(?2?0)?(1?0)???22．
2323|3?2x|dx?23232（7）去掉绝对值，分段积分．?|3?2x|dx?1?2|3?2x|dx?1??2(3?2x)dx?1?(3?2x)dx
31?(3x?x)22?(x?3x)232?12．
?1（8）因为(?cosx)'?sinx，所以?sinxdx?(?cosx)|??(?cos?)?(?cos0)?2, 00（9）?2??sinxdx?(?cosx)|??(?cos2?)?(?cos?)??2， sinxdx?(?cosx)|0?(?cos2?)?(?cos0)?0.
2?2?（10）?2?0指出：可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（如图) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（如图) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数； 当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（如图 ）且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3 （曲边图形的面积）
计算由两条抛物线y2?x和y?x2所围成的图形的面积.
解：（1）分析两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
??y?x、（1，1）， ?x?0及x?1，所以两曲线的交点为（0，0）?2??y?xy?x面积S=??10xdx??103?23x?1222xdx，所以S=?(x-x)dx??x??=3 。 033??011指出：（1）求曲边梯形面积的方法与步骤：
① 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
② 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； ③ 确定被积函数；
④ 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。 （2）几种常见的曲边梯形面积的计算方法： x型区域：
C O D A
y?x2B
① 由一条曲线y?f(x)(其中f(x)?0）与直线x?a,x?b(a?b)以及x轴所围成的曲边梯形的面积：
S＝?baf(x)dx（如图（1））；
y y?f(x)y a y?f(x)b②由一条曲线 与 y?f(x)(其中f(x)?0）b x y y?f(x)a b x y?g(x)b直线x?a,x?b(a?b)以及x轴所围成的曲边梯形的面积：S＝?f(x)dx＝－?f(x)dx（如图（2））；
aaa b x ③ 由两条曲线y?f(x)，y?g(x)(其中f(x)?g(x)）与直线x?a,x?b(a?b)所围成的曲边梯形的
第四讲 定积分与微积分基本定理
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