高三（新课标）第一轮复习教案 第十六章 导数及其应用 华中师大一附中 黄松生
在，说明理由． 解：因为f(x)?x，所以f?(x)?111，则切线的斜率为k?f?()?1，切点T(,)，所以切
4422x1线方程为x?y?1494?0．因为切线l与直线g(x)?kx?m(m?0)平行，所以k?1,g(x)?x?m．
94 （1）当m?时，g(x)?x?，f(x)图象上的点到g(x)图象上点的最短距离为切线l：
9?214?2．
x?y?14?0和直线x?y?94?0之间的距离，即dmin?4 （2）因为f(x)?mg(x)?f(x)，所以?f(x)?f(x)?mg(x)?f(x)，即0?mg(x)?2f(x)，所以0?mx?m?2x．因为m?0，故只须mx?m?2x，即mx?m?2x?0对x??1,4?恒
222成立，设t?x(1?t?2)．令k(t)?mt2?2t?m，则问题转化为k(t)?0对任意t??1,2?恒成立．当
2?k(1)?m2?m?2?0m?0时，k(t)??2t?0；当m?0时，所以k(t)的图象开口向上，则?解得2k(2)?m?4m?4?0?0?m?22?2．综上，M?[0,22?2]．
（3）假设这样的?值存在，则由??y?x6?5?6?5?,)．由?得交点
y?x?5?22??y??x?6B(4,2)．又y?x?5?，y??x?6与x轴的交点分别为C(?5?,0)，D(6,0)．作BE?x轴于点E，则
?y??x?6得交点A(263?S?ACD?(S曲边梯形145OEBT?S?BED)?416?5???(6?5?)?[?022xdx?12(6?4)?2]，解得??25
（???f(x)?舍去）．因为
25?[0,22?2]，故存在?值，使得直线y?x?5?(??0)，直线y??x?6，
263x与x轴负半轴共同围成的面积为．
例5 如图所示，抛物线y?4?x2与直线y?3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动． （1）求使△PAB的面积最大的P的坐标(a, b)；
（2）证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x?a分为面积相等的两部分． 解：（1）解方程组
y?4?xy?3x2，得x1?1，x2??4．
∴抛物线y?4?x2与直线y?3x的交点为A(1, 3)，B(?4, ?12)，∴P点的横坐标
a?(?4, 1)．点P(a, b)到直线y?3x的距离为d?|3a?b|1?322，∵P点在抛物线上，
3232∴b?4?a2，d'a?b?4?94?74110?(4?3a?a)'?2110(?2a?3)?0，∴a??，即当a??时，d最大，这时
，
第四讲 定积分与微积分基本定理
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∴P点的坐标为(?32,
74)时，△PAB的面积最大．
32（2）设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S，位于x??12右侧的面积为S1，
3S??(4?x?3x)dx?125，S1??13(4?x?3x)dx?2125，∴S?2S1，即直线x??平分抛物线与线段
?46?2122AB围成的图形的面积．
第四讲 定积分与微积分基本定理 12