高三（新课标）第一轮复习教案 第十六章 导数及其应用 华中师大一附中 黄松生
b面积：S＝?|f(x)－g(x)|dx（如图（3））；
ay型区域：
① 由一条曲线y?f(x)(其中x?0）与直线y?a,y?b(a?b)以及y轴所围成的曲边梯形的面积,可由y?f(x)得x?h(y)，然后利用 ）； S＝h(y)dy求出（如图（4）
b y y?f(x)y?f(x)y x ?by b b y?f(x)x a a y?g(x)ax ② 由一条曲线y?f(x)(其中x?0） a 与直线y?a,y?b(a?b)以及y轴所围成的曲边梯形的面积，可由y?f(x)先求出x?h(y)，然后利用
S＝?bah(y)dy＝－）； ?h(y)dy求出（如图（5）
ab③ 由两条曲线y?f(x)，y?g(x)与直线y?a,y?b(a?b)所围成的曲边梯形的面积，可由 然后利用S＝y?f(x)，y?g(x)先分别求出x?h1(y)，x?h2(y)，
?|h(y)－ha1b2(（如图（6））； y)|dy求出
（3）求平面曲线的弧长
设曲线AB方程为y?f(x)(a?x?b)，函数f(x)在区间[a,b]上可导，且
f(x)连续，则曲线AB的弧长为l?'?ba1?[f(x)]dx.
'2（4）求旋转体的体积和侧面积
由曲线y?f(x)，直线x?a,x?b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成的旋转体体积为V???[f(x)]dx. 其侧面积为S侧?2??f(x)1?[f(x)]dx.
aab2b'2 例4 （曲边图形的面积） 计算由直线y?x?4，曲线y?2x以及x轴所围图形的面积S.
解：分析：首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线y?x?4与曲线y?的交点．
作出直线y?x?4，曲线y???y?2x,2x的交点的横坐标，直线y?x?4与 x 轴
所求面积为图1. 7一2 阴2x的草图， 影部分的面积．解方程组???y?x?4 得直线y?x?4与曲线y?2x的交点的坐标为（8,4) . 直线y?x?4与x轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S1+S2?2233?402xdx?[?842xdx??(x?4)dx]
48?x2|?402233x2|4812(x?4)|4?28403.
由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．
第四讲 定积分与微积分基本定理
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例5 （曲边图形的面积） （1）求定积分?3?216?6x?xdx
2（2）计算曲线y?x2?2x?3与直线y?x?3所围图形的面积． 解：（1）设y?16?6x?x2，即(x?3)2?y2?25(y?0)． ∵?3?216?6x?xdx表示以5为半径的圆的四分之一面积，∴
2?316?6x?xdx?225?4．
x?0y?3?2（2）如图，设f(x)?x?3，g(x)?x2?2x?3，两函数图象的交点为A，B，由 x?3y?6y?x?3y?x?2x?32得
或 S?，∴曲线y?x2?2x?3与直线y?x?3所围图形的面积
?33[f(x)?g(x)]dx?0?30[(x?3)?(x?2x?3)]dx 3232??(?x?3x)dx?(?213x?3x)02?920．故曲线与直线所围图形的面积为
92．
指出：（1）用定积分的几何意义求定积分不仅简捷明了，而且充分体现了初等数学与高等数学之间的关系，因而充分把握定积分的几何意义，也是学好本部分的关键．
（2）第（2）题，还可以先算f(x)?x?3在[0, 3]上的定积分，再减去函数g(x)?x2?2x?3在[0, 3]上的定积分，这样显然不如直接计算f(x)?g(x)在[0, 3]上的定积分简便．故审题要注意选择好方法．
例 6 （定积分在物理中应用）
一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求此汽车在这1min内所行驶的路程． 分析：由题意知，在t?[0, 10)和t?[40, 60)物体作匀变速直线运动，t?[10, 40)作匀速行动，∴v(t)应为分段函数，应分三段求积分．
3t,t?[0,10)t?[10,40)
解：由速度—时间曲线易知，v(t)? 30,由变速直线运动的路程公式可得
s?
?1.5t?90,t?[40,60]
?3tdt??30dt??010104060(?1.5t?90)dt?321040t20?30t10?(?3460t?90t)402?135040(m)\\
答：此汽车在这1min内所行驶的路程是1350m．
根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着天然的联系。譬如：求几何图形的面积，求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等。上述种种尽管形式相异，然而所采用的思想方法均是：化曲为直，以不变代变，逼近，从某个角度而言充分展现了数学思想方法的高度抽象性及应用的广泛性
例7 （定积分在物理中应用）
一物体按规律x?bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速率的平方成正比，试求物体由x?0运动到x?a时，阻力做的功．
第四讲 定积分与微积分基本定理
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解：物体的速度v?x'(t)?(bt3)'?3bt2，媒质阻力f阻?kv2?k?(3bt2)2?9kb2t4．(中k为比例常数，k?0)
a1当x?0时，t?0，当x?a时，t?t1?()3，
b∴阻力做的功是：W阻??a0f阻dx??t1kv?vdt?k20?t1vdt?k30?t1(3bt)dt?22770kbt1?37277k3ab72?277ka23ab2
例8 （定积分在物理中应用）
A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为（24-1.2t）m/s，在B点恰好停车，试求
（1）A、C间的距离； （2）B、D间的距离； （3）电车从A站到B站所需的时间。 分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即S＝?v(t)dt
a20解：（1）设A到C的时间为t1则1.2t=24, t1=20(s),则AC＝?1.2tdt?0.6t2|0?240(m)
020（2）设D到B的时间为t21则24-1.2t2=0, t21=20(s),则DB＝?（24－1.2t）dt?0.6t2|0?240(m)
02020b（3）CD=7200-2?240=6720(m),则从C到D的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s）
【综合题典例解析】
例1 已知定义在R上的奇函数f(x)?x3?bx2?cx?d在x??1处取得极值. （1）求函数f(x)的解析式；
（2）试证：对于区间[?1,1]上任意两个自变量的值x1,x2，都有|f(x1)?f(x2)|?4成立；
（3）若过点P(m,n),(m、n?R,且|m|?2)可作曲线y?f(x)的三条切线，试求点P对应平面区域的面积.
'2''解：（1）由题意f(0)?0，∴d?0，∴f(x)?3x?2bx?c,又f(1)?f(?1)?0，
?3?2b?c?03,解得b?0,c??3.∴f(x)?x?3x 即?，
?3?2b?c?0
3'2'（2）∵f(x)?x?3x，f(x)?3x?3?3(x?1)(x?1)，当?1?x?1时，f(x)?0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，∴fmax(x)?f(?1)?2,fmin(x)?f(1)??2，对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1,x2，∴|f(x1)?f(x2)|?f(?1)?f(1)?4
32（3）设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0?x0?3x0.因f?(x0)?3(x0?1)，故切线l的方程
232为：y?y0?3(x0?1)(x?x0)，∵P(m,n)?l，∴n?(x0?3x0)?3(x0?1)(m?x0)，整理得
第四讲 定积分与微积分基本定理 8
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2x0?3mx0?3m?n?0，∵若过点P(m,n)可作曲线y?f(x)的三条切线，∴关于x0方程2x0?3mx0?3m?n?0有三个实根，设g(x0)?2x0?3mx0?3m?n，则
g(x0)?6x0?6mx0?6x0(x0?m)，由g(x0)?0，得x0?0或x0?m，由对称性，先考虑m?0
32∵g(x0)在(??,0)，(m,??)上单调递增，在(0,m)上单调递减，∴函数g(x0)?2x0?3mx0?3m?n的'2'32323232极值点为x0?0,或x0?m，∴关于x0方程2x0?3mx0?3m?n?0有三个实根的充要条件是
?g(0)?0，解得?3m?n?m3?3m，故0?m?2时，点P对应平面区域的面积??g(m)?0S??20(m?3m)?(?3m)dm?3?20mdm?314m4|0?4,故|m|?2时，所求点P对应平面区域的面积为
22S，即8.
例2 已知二次函数f(x)?ax2?bx?c,直线l1:y??t2?8t(其中0?t?2.t为常数）；l2:x?2.若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
（1）求a、b、c的值；
（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
（3）若g(x)?6lnx?m,问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
??c?0?a??1???2解：（1）由图形 知：?a?8?b?8?c?0解之得：?b?8，∴函数f（x）的解析式为
??c?024ac?b???16,?4a?f(x)??x?8x
2??y??t?8t2（2）由?，得x?8x?t(t?8)?0,?x1?t,x2?8?t,∵0≤t≤2∴直线l1与f（x）的图
2??y??x?8x2象的交点坐标为（t,?t?8t)，由定积分的几何意义知：S(t)?2?210[(?t?8t)?(?x?8x)]dx?x222?32t[(?x?8x)?(?t?8t)]dx
8x2222?[(?t?8t)x?(?3?8x220)]0?[(?21x3?)?(?t?8t)?xt2??43t?10t?16t?32403
（3）令?(x)?g(x)?f(x)?x?8x?6lnx?m.因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅
第四讲 定积分与微积分基本定理
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有2个不同的交点，则函数?(x)?x2?8x?6lnx?m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
6x2x?8x?6x2??(x)?2x?8?'??2(x?1)(x?3)x'(x?0)，当x∈（0，1）时，?(x)?0,?(x)是
增函数；当x∈（1，3）时，?'(x)?0,?(x)是减函数；当x∈（3，+∞）时，?'(x)?0,?(x)是增函数 当x=1或x=3时，?'(x)?0，∴?(x)极大值为?(1)?m?7;?(x)极小值为?(3)?m?6ln3?15 又因为当x→0时，?(x)???，当x???时，?(x)???，所以，要使?(x)?0有且仅有两个不同
??(1)?0??(3)?0?m?7?0?m?6ln3?15?0，即?，∴m=7或或?或??(3)?0?(1)?0m?6ln3?15?0m?7?0????的正根，必须且只须?m?15?6ln3.∴当m=7或m?15?6ln3.时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点．
例3 抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．
（1）求A．b满足的关系；
（2）求使S达到最大值的A．b值，并求S的最大值．
解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以S???ba0(ax2?bx)dx?16a2b①．又直线x＋y=4与抛物线y=ax＋bx相切，即它们有唯一的公共点，
32
?x?y?422
由方程组?得ax＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)＋16a=0．于是2?y?ax?bxa??116(b?1),代入①式得：S(b)?2128b346(b?1),(b?0)，S?(b)?128b(3?b)3(b?1)52．令S'(b)=0；在b＞0
时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且Smax?1492．
例4 已知函数f(x)?x在x?处的切线为l，函数g(x)?kx?m(m?0)的图像与l平行．
（1）当m?94，求f(x)图像上的点到g(x)图像上的点的最短距离；
（2）若不等式f(x)?mg(x)?f(x)对x?[1,4]恒成立．求m的取值范围M；
（3）对于上述的区间M，是否存在一个属于区间M的实数?，使直线y?x?5?(??0),直线
263y??x?6，以及f(x)?x与x轴的负半轴共同围成的面积为？若存在，求出这样的?值. 若不存
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第四讲 定积分与微积分基本定理