第四章 数列
关于数列的复习要注意：①注意等差等比两个特殊数列的作用，学会利用整体代换、待定系数法（涉想代换）转化为这个两个特殊数列；②注意数列求和的常用方法及其应用③an与Sn的关系及应用；④注意数列与函数的关系，利用函数性质解决数列问题；⑤熟悉几种类型的极限计算；⑥注意利用归纳推理、从特殊到一般的方法化难为易。 一、 等差、等比数列的基本公式应用 ［例1］ 填空：
1、在等差数列｛an｝中，已知an－4=18，S9=18，Sn=180，则n=
2⊕
2、在数列｛an｝中，已知a1=3，an+1= an（n∈N），则an= 3、在数列｛an｝中，an>0，a1=1，前n项和Sn满足s?s?nn?1则an=
4、在数列｛an｝中，前n项和Sn满足sns?ns
n?1?3?r，若｛an｝是等比数列，则r=
n5、将整数数对按下规律排列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1）， （1，4），（2，3），（3，2），（4，1），?则此数列的第60项为
［例2］设数列｛an｝的前n项和Sn，满足s等比数列”。
①若数列｛2｝是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列｛bn｝是否为“和等比数
bn2n（n∈N※）是非零常数，则称该数列为“和
sn列”；
②若数列｛Cn｝是首项为C1，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列｛Cn｝是“和等比数列”，试探究d与C1之间的等量关系。
［例3］、（等差、等比数列计算与证明及应用） 已知数列
、
（n∈
）中，
，且当n∈
时，
成等差数列，
成等比数列
（1）求数列
、
的通项公式；
恒成立。
分析：在得出数列、的通项公式后，对于（2）的解法，要注意当n≥k时，对任意实数λ∈［0，1］，不等式恒成立，又λ是一次式，故可用转换变量法，求出n的范围，再得k的最小值。
说明：在推导和证明一个数列是等差数列只要证
常数，或证
=
，（有
常数，或证
（2）求最小自然数k，使得当n≥k时，对任意实数λ∈［0，1］，不等式
时可证通项公式是n的一次函数）；证明一个数列是等比数列只要证=
（有时可证通项公式是Aq型）。
n1
二、 an与Sn的关系及应用
这类问题是高考中一个常见题型。在解决这个问题时要注意： ①是利用an=
s1?n?1?sn?sn?1?n?2?来解决的，方法有两种，一是消Sn化为an与an-1关
系的递推数列，二是消an化为Sn与Sn-1关系的递推数列。
②要注意条件中的n≥2，a1由S1=a1来求。
［例1］1、设数列｛an｝满足：a1?2a?3a???na?223nn（n∈N），
⊕
①求an； ②设bn=n2an，求数列｛bn｝的前n项和Sn。
? 2、已知数列?an?中，a1?1，其前n项和满足a ?2s，n?N，且n?2，求a和Snn?1nn （要求用两种方法）
［例2］已知数列｛an｝的前n项和Sn，满足Sn+1=4an+2，a1=1，
①设bn=an+1-2an，求证：｛bn｝是等比数列；②设Cn=a，求证：｛Cn｝是等差数列。
n2n
三、 通项公式为分断型及子数列
1，nn?1［例1］1、若an?3n?c，2?n?5，求：①当a=1、c=3时数列｛an｝的前n项和Sn。
a?2，n?6 ②当数列｛an｝是单调递增数列时，a、c应满足的条件。
2
2、已知函数
数列，则实数a的取值范围是（ ）
A
B
若数列满足，且是递增
C ［2，3） D （2，3）
（注意数列的单调性与函数的单调性的区别！）
［例2］已知等差数列｛an｝的第二项为8，前10项和为185，从这个数列中依次取出第二项、第四项、第八项、?、第2n项，按原来的顺序排成一个新数列｛bn｝，求数列｛bn｝的通项公式及前n项和公式。
练习：设、、?是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，公差d≠0，若将此数列中删去一项后剩下的（按原来顺序不变）是等比数列， （1）当n=4时，求；
（2）求n的可能值。 分析：（1）是特殊问题，不难求出的。（2）是在（1）的基础上加以探索，关键是注意到删去后不能有原连续的三项。
四、递推性数列的常见解题思路
1、设想代换，化为等差、等比数列 2、归纳类比 3、累加（乘）法
n例1、①已知数列?an?中，a1?1 ， an?1?3an?2，求an
n ②已知数列?an?中，a1?1 ， an?1?2an?2，求an
例2、设数列
（1）若
、
、
前n项和为
=
，数列
满足
（m∈
），
成等比数列，求m；
中存在某项
满足
、
、成等比数列？若存在指出符合题意
（2）是否存在m，使数列
的m的个数，若不存在，说明理由。
分析：这是一个探索性问题。这一问题主要都是从特殊到一般的思想进行探索。
3
例3、 设数列｛an｝满足a1=2，
an?1?a?n1an，证明：an>2n?1对n∈N都成立。
※
2n?1例4、已知数列?an?中，a ??1，a?3a?3?2n?1，求a1n?1nn
五、求和方法与极限计算
A 求和方法：
①利用等差、等比数列公式求和
②利用等差、等比数列前n项和公式的推导方法求和 ③拆项法
例1、求和
① 7+77+777+?+77?7（n个7）
② 1+（1+a）+（1+a+a）+?+（1+a+a+?+a③ 1+2x+3x+?+nx ④设f（n）=
2
n-1
2
2
n-1
）
12?n2，则f?n??f?1?n??＿＿＿＿＿
f??5??f??4????f?5??f?6??＿＿＿＿ 若这上面的数列改为函数，你能想到什么？
B 极限计算 例1、已知limn??an?cbn?c?2，limn??bn?ccn?b22?3，求limn??an?ccn?a22。
例2、求下列极限：
①④
limn??3?2nnn?1n ②
3?2limn??1?q1?qnn （q≠－1） ③limn??a?ba?bnnnn（a≠－b）
limn??2n? ?1?2???2?2?n?1??n?1n?1例3：填空
①在无穷等比数列｛an｝中，公比为q且所有项和为②在无穷等比数列｛an｝中，公比为q=－1223，则首项a1的取值范围是＿＿
???a2n?1??83，且
lim?a1?a3?a5n??，则首项a1=＿＿
③一个无穷等比数列，它的每一项都等于它后面所有项和，则公比q=
4
六、数列与函数、方程
例1、己知f?x???11x?42（x＜－2）
1an?1①f?x?； ②设a4an22n1?1,f?1?an???，求an·
③设bn?n1?7a???n?N?，记s?n?b1?b2???bn，请问：是否存在最大的整数m，
?使得对于任意n?N，sn＞m均成立？
18
例2、 定义：F?x,y??y（x＞0，y＞0）
x ①设函数f?n??F?n,2?F?2,n??n?N?，求f?n?的最小值；
? ②解关于x不等式F?2,x?a?1???a?1?；
2 ③设g?x??F?x,2?，正数数列｛an｝满足：a1?3,g?an?1??8式。
an，求数列｛an｝的通项公
七、数列与三角
［例1］解答下列各题： ①2012上海文18、若Sn?sin中，正数的个数是（ ）
（A）16 （B）72 （C）86 （D）100
?7?sin2?7???sinn?7（n∈N），则在S1、S2、?、S100
?5