②2012上海理18、设an=1sinn?，Sn=a1+a2+?+an，在S1、S2、?、S100中，正数的个
n25数是（ ）
（A） 25 （B） 50 （C） 100 （D） 75
③已知数列｛an｝中，an=sinn?，n∈N，1≤n≤200，则这个数列中，连续40项和T1、
40T2、?、T161中有多少个正值项？
例2、已知复数数列?zn?的通项公式为zn?cosn??isinn?，n?N? ，
①求证：z2?z12； ②求证：zn?z1n，n?N?；
③求和：cos??cos2?14?cos3?14???cos14?1414
八、数列的应用题
［例1］、从盛有盐的质量分数为20％的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg
的水，以后每次都倒出1kg盐水，再加入1kg的水，如此下去。 ①第五次倒出的1kg盐水中含盐多少千克？
②第n次倒出的1kg盐水后，共倒出了盐多少千克？
例3、某高校的一个食堂正常有800人就餐，配有A、B两种套餐，通过一段时间的调查发现：
在这个周一选A套餐的同学在下周一有的人选B套餐，选B套餐的同学有的人选A套餐。若按这一规律长时间下去（看作无限下去），选A套餐的人数会稳定在多少人？
6
九、数列与不等式
数列中的不等式问题应注意到：①单调性，②放缩法，③数学归纳法 ，④分析、综合法等。
这种问题往往与含字母参数问题有关，象恒成立问题，存在不存在问题等等。
例1。已知二次函数y＝ f(x)＝3x2－2x.数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
3m
(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数
anan＋120
m.（恒成立问题，利用单调性和极限思想）
例2。 设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝an＋1Sn(n∈N*)．
(1)若a1，S2，－2a2成等比数列，求S2和a3；
4
(2)求证：对k≥3有0≤ak＋1≤ak≤.（可用分析法、放缩法和构造法）
3
n
例3。已知数列{an}满足关系式an＋1＝＋2，n∈N*，且a1＝2.
an
(1)求a2，a3，a4；
(2)求证：n＋1≤an 111 (3)求证：n＋1－1<＋＋?＋<2(n＋3－3)． a1a2an （数学归纳法和放缩法还要用到分析法） 例4、设A ，B 是函数 的图像上任意两点，且 ，且已知M点的横坐标为，（1）求M点的纵坐标； （2）若设 ，其中n∈N，n≥2，求 ； （3）已知=，其中n∈N，设为数列｛｝的前n项的和，若 对一切n∈N，n≥1，都成立，试求λ的取值范围。（恒成立，利用单调性，同 时注意到分断问题） 7 十、含字母参数问题 有恒成立问题、存在与不存在问题等。 例1（存在与不存在问题） 例2（恒成立问题） 练习：1、已知数列｛an｝的前n项和Sn，满足s且a1=0，n≥2时，an>0，①求an； ②若对于n≥2， n ?s1n?1?ta2n?t?0，n?2? 1aa23?1aa32???aan?2恒成立，求t的范围。 n?1 2、 8 十一、数列与几何 ［例1］、在xoy平面上有一系列点P1?x1,y1?、P2?x2,y2?、?、Pn?xn,yn??对于每个正整数n， 点Pn?xn,yn?都在曲线y=x2（x≥0）上，以点Pn为圆心的圆都与x轴相切，且◎Pn与◎Pn+1 ＜xn，又彼此外切，若x1?1,xn?1（n∈N⊕） 1?是等差数列； ①求证：数列????xn? ②设◎Pn的面积为Sn，Tn?s1?s2???sn，求证：Tn＜3?2。 ［例2］ 十二、归纳猜想法 ?a?2?，a例1、数列｛an｝满足a1?a，n?1?12?an， ①求a2、a3、a4； ②猜想出通项公式an?f?n?，并用数学归纳法证明。 例2、数列｛an｝满足a1?2，a n?1?an?1an，证明：an＞2n?1对于n∈N都成立。 ※ 9 练习：用数学归纳法证明： ① 4 2n+1 +3 n+2 对于n∈N都能被13整除； n 2 ②当n≥5，n∈N时，2＞n。 十三、数列中探索性问题 这是数列中的难题，要综合各方面知识，探索寻找正确解题方法。 例、（徐汇区2012二模试题第23题） 如果存在常数a使得数列｛的一项，称数列｛ ｝满足：若x是数列｛ ｝中的一项，则a-x也是数列｛ ｝中 ｝为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”。 ①数列1，2，4，m，（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值； ②已知有穷数列｛列”，并用 ｝的项数为 （ ≥3）所有项之和为B，求证：数列｛ ｝是“兑换数 和B表示它的“兑换系数”。 ｝，是否有可能它既是等比数列，又是 ③对于一个不小于3项，且各项皆为正数的递增数列｛“兑换数列”？给出你的结论并说明理由。 （如2012年上海高考理数等） 10