19．（本小题满分12分）已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)?2x?x2，若存在正数a，b，使得当x∈［a，b］时，f(x)的值域为?,?，求a+b的值．
ba解析：设x>0，则－x<0，
∴f(?x)?(?x)2?2(?x)，即?f(x)?x2?2x， ∴f(x)??x2?2x，设这样的正数a，b存在，
?11???11?2?2?1?a?2a?,?a?2a?,?1,??????baa则?或?或?
111??b2?2b?,??b2?2b?,??b2?2b??1;???baa???1?2?1?a?2a?,?1,???a?1,??ab由?得ab(a?b)?0，舍去；由?得?矛盾，舍去；
11b?1.??b2?2b?,??b2?2b??1,???aa??1?2?a?2a?,??a32由?得a,b是方程?x?2x?1的两个实数根， ??b2?2b?1,?b??a?11?53?5?由(x?1)(x2?x?1)?0得?， a?b?1??1?522?b??220．（本小题满分12分）如图A,B是单位圆与x轴，y轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，?AOP??(0????)，点C(?2,0)，平行四边形OAQP的面积为S．
????????（1） 求OA?OQ?S的最大值；
（2） 若CB∥OP,求sin(2??解
：
（
1
）
?6)的值．
，
已知
A（1,0），（B0,1），（Pcos?,sin?），
由
????????????则，OQ?OA+OP?(1?cos?,sin?)?????????????????OA?OQ?1?cos?,S?OA?OP?sin??sin?
??????????OA?OQ?S=1?cos??sin??2sin(??)?1,???(0,?)
4????????????时，OA?OQ?S取得最大值2?1．
4（2）由CB║OP，得tan??1?525???(0,)，?sin??,cos??, 2255页 6第
43?43?3?sin2??2sin?cos??,cos2??2cos2??1?，?sin(2??)?．
5561021．（本小题满分12分）如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC的长为a米（a为常数），
现在斜边AB上选一点D，将△ACD沿CD折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）． 设△BCD的面积为S，点A到直线CD的距离为d．实践证明，遮阳效果y与S、d的乘积Sd成正比，比例系数为k（k为常数，且k>0）．
（1）设∠ACD=?，试将S表示为?的函数；
（2）当点D在何处时，遮阳效果最佳（即y取得最大值）． 解：
（1）△BCD中
C D B
A 图（2）
? S A D 图（1）
B C BCCD?，
sin?CDBsin?B∴
aCD?，∴CD???sin(??45)sin45a2sin(??45)?
12a2cos??0???90∴S?BC?CD?sin?BCD ?， ?24sin(??45)（2）d?asin?
ka3sin?cos?2ka3sin?cos?y?kSd? ?2(sin??cos?)4sin(??45?)t2?1令sin??cos??t，则t?(1,2]，sin?cos??
2ka3(t2?1)ka31?(t?)在区间(1,2]上单调递增 ∴y?4t4t∴当t?
22．（本小题满分12分）已知f(x)?x2?ax?sin2时y取得最大值，此时???4，即D在AB的中点时，遮阳效果最佳．
?x2，x∈(0，1)．
(1)若f (x)在定义域内单调递增，求a的取值范围;
(2)当a??2时，记f (x)的极小值为f (x0)，若f (x1) = f (x2)，求证：x1 + x2 > 2x0． (1)解：f?(x)?2x?a??2cos?2x
解：∵f (x)在定义域(0，1)内单调递增∴f?(x)≥0在(0，1)内恒成立，即a≥?2x?页
7第
?2cos?2x在(0，1)内恒
成立 令g(x)?2x?
x
2242g?(1)?0 ∵g?(x)在(0，1)内单调递减，且g?(0)?0，∴g?(x)在(0，1)上存在唯一零点m
cos??x，则g?(x)?2??2sin???a≥?g(0)?a≥? ∴g (x)在(0，m)上递增，在(m，1)上递减，∴?2?a≥?g(1)(2)证明：当a??2时，f?(x)?2x?2?令h(x)?2x?2?
?2cos?2x
?2242由(1)知，h?(x)在(0，1)上存在唯一零点m
∴f?(x)?h(x)在(0，m)上递增，在(m，1)上递减 ∵f?(0)??2?cos?x，则h?(x)?2??2sin?x
?2∵f (x)的极小值为f (x0)，∴f?(x0)?0，因此0?x0?m?1 ∴f (x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，1)上单调递增 不妨设x1 < x2，∵f (x1) = f (x2)，∴0?x1?x0?x2?1
令F(x)?f(x0?x)?f(x0?x)，则F?(x)?f?(x0?x)?f?(x0?x)?4x0?4??cos∵F?(x)在(0，1)递减，∴F?(x)?F?(0)?0
∴F (x)在(0，1)递减，∴F (x) < F (0) = 0，f(x0?x)?f(x0?x) 又f(x1)?f(x2)?f(x0?(x0?x2))?f(x0?(x0?x2))?f(2x0?x2) ∵x0?x2?1，∴0?2x0?x2?x0
∵0?x1?x0，f (x)在(0，x0)上单调递减，∴x1?2x0?x2，即x1?x2?2x0
?0，f?(1)?0，∴f?(m)?0
?x02cos?x2
页 8第