第三章 控制系统的时域分析
3.1 典型的试验信号 3.2 一阶系统的时域响应 3.3 二阶系统的时域响应 3.4 高阶系统的时域响应
3.5 用MATLAB求控制系统的瞬态响应 3.6 线性定常系统的稳定性 3.7 劳斯稳定判据 3.8 控制系统的稳态误差
3.9 控制系统对参数变化的灵敏度 本章小结
本 章 简 介
上一章已经讲述了如何建立控制系统的数学模型。但事实上人们真正关心的是，如何利用这些数学模型来对系统进行分析或设计。本章主要讨论用时域分析法来分析控制系统的性能。
时域分析法：是对一个特定的输入信号，通过拉氏变换，求取系统的响应输出。
它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
一个稳定的控制系统，对输入信号的时域响应由二部分组成：瞬态响应+稳态响应。
瞬态响应描述系统的动态性能；稳态响应描述系统的稳态精度； 3.1 典型的试验信号 回目录
控制系统的稳态误差是因输入信号不同而不同的。因此就需要规定一些典型输入信号。通过评价系统在这些典型输入信号作用下的稳态误差来衡量和比较系统的稳态性能。在控制工程中通常采用的典型输入信号有以下几种：
1．单位阶跃函数：
其拉普拉斯变换为R(s)=1/s
2．单位斜坡函数：
其拉普拉斯变换为R(s)=1/s2
3．单位加速度函数：
其拉普拉斯变换为R(s)=1/s3
4．单位脉冲函数：
5．正弦函数： r(t)=Asinωt
其拉普拉斯变换为R(s)=1
其中最常用的典型信号为单位阶跃、单位斜坡、单位加速度三种输入信号。
3.2 一阶系统的时域响应 回目录
3.2.1单位阶跃响应
3.2.3一阶系统的单位脉冲响应
3.2.2一阶系统的单位斜坡响应 3.2.4线性定常系统的重要特性
一阶系统：用一阶微分方程描述的控制系统。 研究图3-3所示一阶系统。其系统传函为
图3-3 一阶系统方框图
3.2.1 单位阶跃响应
对于单位阶跃输入：r(t)=1(t)，R(s)=1/s 于是
由拉普拉斯反变换可以得到单位阶跃响应c(t)为
c(t)=1-e-t/T (t≥0)
上式表示，一阶系统的单位阶跃响应的图形是一条指数曲线，如图3-4所示。
图3-4 一阶系统的单位阶跃响应
由图可知，c(t)的初始值为0，最终将变为1。当t=T时，c(t)的数值等于0.632，或者说响应c(t)达到了总变化的63.2%。当经过的时间t=3T、4T时，响应将分别达到稳态值的95%或98%。从数学观点来分析，只有当时间t趋向于无穷大时，系统的响应才能达到稳态。但实际上都以响应曲线达到稳态值
的2%允许误差范围所需的时间，来作为评价响应时间长短的合理标准。时间常数T反映了系统的响应速度，时间常数T愈小，则响应速度愈快。
∴ T反映了系统的响应速度。
3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应 对于单位斜坡输入：r(t)=t，R(s)=1/s2 于是
t=0时,斜率为0
t→∞ 时 c(∞)=t-T c(∞)-r(t)=T
r(t)=t, R(s)=
3.2.3一阶系统的单位脉冲响应 当单位脉冲输入：r(t)=δ(t)，R(s)=1 这时有
相应的系统单位脉冲响应为：
c(t)=(1/T)e-t/T 其响应曲线如图3-5所示。
图3-5 一阶系统的单位脉冲响应
3.2.4 线性定常系统的重要特性
r(t)=t -->(导数） r(t)=1(t) --> r(t)=δ(t) c(t)=(t-T)+Te-t/T --> c(t)=1-e-t/T --> c(t)=(1/T)e-t/T
比较系统对这三种输入信号的响应，可以清楚地看出，系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应微分来求出。同时也可以看出，系统对原信号积分的响应，等于系统对原信号响应的积分，而积分常数则由零输出初始条件确定。这是线性定常系统的一个特性，线性时变系统和非线性系统都不具备这种特性。
3.3 二阶系统的暂态响应 回目录
3.3.1二阶系统的单位阶跃响应 3.3.2 二阶系统的暂态响应指标 3.3.3二阶系统的脉冲响应
在分析或设计系统时，二阶系统的响应特性常被视为一种基准。虽然在实际中几乎没有二阶系统，而是三阶或更高阶系统，但是它们有可能用二阶系统去近似，或者其响应可以表示为一、二阶系统响应的合成。因此，将对二阶系统的响应进行重点讨论。