图3-6 二阶系统的方框图
典型的二阶系统的方框图如图3-6所示，它由一个非周期环节和一个积分环节串联组成，系统的传递函数为
令
则 二阶系统的标准表达式：
由上式得闭环系统的极点:
的单位本为rad/s，但因弧度本身无量纲，只表示比值的概ωd
念。在研究控制系统时习惯上写为s-1，同时也常简称为频率。
ωd
振荡角频率
由式（3-12）可知，系统极点的实部为ζ，它控制着时间响应的暂态分量是发散还是衰减，以及暂态分量随时间的变化率。当ζ>0时，暂态响应随时间增长而发散，当ζ<0时，暂态响应随时间增长而衰减。由于不可能为负
ωn
值，所以，又可以看出，当 <0时，系统暂态响应将随时间增长而发散，而
ξ
当>0时，系统暂态响应才能随时间增长而衰减。 ξ
<1时，系统具有一对实部为负的复数极点，系统的暂态响应将是ξ
振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，此时称系统处于欠阻尼状态。 =1时，系统具有两重实极点，于是系统暂态响应中没有周期分ξ
量，暂态响应将随时间按指数函数规律而单调衰减。此时称系统处于临界阻尼情况。
>1时，系统具有不相等的两个实极点，系统的暂态响应还是随ξ
时间按指数函数规律而单调衰减，只是衰减的快慢主要由靠近虚轴的那个实极点决定。此时称系统处于过阻尼情况。
=0时，系统将具有一对纯虚数极点，其值为此时称系统处ξ
于无阻尼状态，系统的暂态响应将是恒定振幅的周期函数，并且将 称为无阻尼自然振荡角频率，或简称为无阻尼自然振荡频率。
在图3-7中表示出当 为不同值时，相应系统极点的分布与阶跃响应的图形。
当当阻尼比当阻尼比当0<
(a)>1（左半平面有相异实根）时系统响应 ξ
(b) =1（左半平面有相同实根）时系统响应
ξ
(c)0<<1（左半平面有带负实根的共轭虚根）时系统响应
ξ
(d)=0（虚轴上带共轭虚根）时系统响应 ξ
(e)0>>-1（右半平面有带正实根的共轭虚根）时系统响应
ξ
(f)
ξ
<-1（右半平面有相异正实根）时系统响应
图3-7 极点分布不同时系统阶跃响应图形 图3-8说明系统极点的位置与的一对共轭复数极点ωn
是极点的虚部，而阻尼比
ξωnωd
是从极点到s平面原点的径向距离，ζ是极点的实部，
、
、ζ及
之间的关系。对于标出
等于极点到s平面原点间径向线与负实轴之间夹
ωdξ角的余弦，即 =cosθ ξ
阻尼比是二阶系统的重要特征参量。
ξ
图3-8 系统极点与参量间的关系
3.3.1二阶系统的单位阶跃响应
下面分析欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三种情况下，二阶系统的单位阶跃响应。
(1) 欠阻尼情况(0<ζ<1)
暂态分量为衰减振荡的周期函数，阻尼自然频率为
当ξ=0（零阻尼）
响应曲线为等幅余弦振荡曲线。即 c(t)=1-cost (t≥0)
ωn
(2) 临界阻尼情况（ ζ=1）
对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s，因而C(s)可表示为