den=[1 4 25]; step(num,den) grid
title('Unit-Step Response of G(s)=25/(s^2+4s+25)')
图3-13 单位阶跃响应曲线
3.5.3在图形屏幕上书写文本
为了在图形屏幕上书写文本，例如，可以输入下列语句： text(3.4, -0.06, 'Y1') 和
text(3.4, 1.4, 'Y2')
第一个语句告诉计算机，在坐标点x=3.4，y=-0.06上写出\。类似地，第二个语句告诉计算机，在坐标点x=3.4，y=1.4上写出\。
3.5.4脉冲响应
利用下列MATLAB命令中的一种命令，可以得到控制系统的单位脉冲响应：
impulse(num,den)
[y,x,t]=impulse(num,den) [y,x,t]=impulse(num,den,t)
例3-11 试求下列系统的单位脉冲响应：（内有Matlab Program 3-2)
3.5.5求脉冲响应的另一种方法
当初始条件为零时，G(s)的单位脉冲响应与sG(s)的单位阶跃响应相同。 考虑上例中讨论过的系统的单位脉冲响应。因为对于单位脉冲输入量，R(s)=1，所以
因此，可以将G(s)的单位脉冲响应变换成sG(s)的单位阶跃响应。 如果向MATLAB输入下列num和den： num=[0 1 0] den=[1 0.2 1]
利用在MATLAB Program3-2中给出的阶跃响应命令，可以得到系统的单位脉冲响应曲线，如图3-15所示。在图3-15中，x轴和y轴都是自动地进行标注的。如果希望对x轴和y轴做不同的标注，则需要改变阶跃命令。例如，如果需要在x轴上标注\，在y轴上标注\，则应利用带有左端变量的阶跃响应命令，其源程序如下： MATLAB Program 3-3 num=[0 1 1]; den=[1 0.2 1]; impulse(num,den); grid;
title('G(s)=s/(s^2+0.2s+1)的单位脉冲响应')
图3-15 用
c=step(num,den,t) 或者
[y,x,t]=step(num,den,t) 参见MATLAB Program3-4。
3.5.6斜坡响应
的单位阶跃响应求得的单位脉冲响应曲线
在MATLAB中没有斜坡响应命令，因此，需要利用阶跃响应命令求斜坡响应。特别是当求传递函数系统G(s)的斜坡响应时，可以先用s除G(s)，再利用阶跃响应命令。例如，考虑下列闭环系统：
对于单位斜坡输入量，R(s)=1/(s2)，因此
为了得到系统的单位斜坡响应，往MATLAB程序中输入下列分子和分母： num=[0 0 0 1]; den=[1 1 1 0];
并应用阶跃响应命令。参见MATLAB Program3-4，利用此程序获得的响应曲线如图3-16所示。其源程序如下：
MATLAB Program 3-4 num=[0 0 0 1]; den=[1 1 1 0]; t=0:0.1:7;
c=step(num,den,t); plot(t,c,'o',t,t,'-') grid
title('Unit-Ramp Response Curve for System G(s)=1/(s^2+s+1)') xlabel('t Sec')
ylabel('Input and Output')
图3-16 单位斜坡响应曲线
3.6 线性系统的稳定性 回目录
设计控制系统时应满足多种性能指标，但首要的技术要求是系统全部时间内必须稳定。一般来说，稳定性成为区分系统是否有用的标志。从实际应用的角度来看，可以认为只有稳定系统才有用。
3.6.1 稳定性的基本概念
原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。所谓稳定性，就是指系统在扰动作用消失后，经过一段过渡过程后能否回复到原来的平衡状态或足够准确地回复到原来的平衡状态的性能。若系统能恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的；若干扰消失后系统不能恢复到原来的平衡状态，偏差越来越大，则系统是不稳定的。
系统的稳定性又分两种情况：一是大范围内稳定，即起始偏差可以很大，系统仍稳定。另一种是小范围内稳定，即起始偏差必须在一定限度内系统才稳定，超出了这个限定值则不稳定。对于线性系统，如果在小范围内是稳定的，则它一定也是在大范围内稳定的。而对非线性系统，在小范围内稳定，在大范围内就不一定是稳定的。本章所研究的稳定性问题，是线性系统的稳定性，因而是大范围内的稳定性问题。
一般来说，系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性，如果系统的零输入响应和零状态响应都是收敛的，则此系统就被认为是总体稳定的。不难证明，对于线性定常系统，零输入响应稳定性和零状态响应稳定性的条件是一致的。所以线性定常系统的稳定性是通过系统响应的稳定性来表达的。
3.6.2 线性系统的稳定性
线性系统的特性或状态是由线性微分方程来描述的，而微分方程的解通常就是系统输出量的时间表达式，它包含两部分：稳态分量（又称强制分量）和瞬态分量（又称自由分量）。稳态分量对应微分方程的特解，与外作用形式有关；瞬态分量对应微分方程的通解，是系统齐次方程的解，它与系统本身的参数、结构和初始条件有关，而与外作用形式无关。研究系统的稳定性，就是研究系统输出量中的瞬态分量的运动形式。这种运动形式完全取决于系统的特征方程式，即齐次微分方程式，因为它正是研究扰动消除后输出量运动形式的。
单输入单输出线性系统的传递函数一般表示为：
系统的特征方程式为
显然，它是由系统本身的参数和结构所决定的。
3.6.3 线性系统稳定的充分必要条件
从上节的例子可以看出，线性系统稳定与否完全取决于其微分方程的特征方程根。如果特征方程的全部根都是负实数或实部为负的复数，则系统是稳定
的。如果特征方程的各根中即使只有一个根是正实数或只有一对根是实部为正的复数，则微分方程的解中就会出现发散项。
由此可得出如下结论：线性系统稳定的充分必要条件是它的特征方程式的所有根均为负数或具有负的实数部分；或者说，特征方程式的所有根均在复数平面的左半部分。由于系统特征方程式的根就是系统的极点，所以又可以说，系统稳定的充分必要条件是系统的极点均在S平面的左半部分。
如果特征方程在复平面的右半平面上没有根，但在虚轴上有根，则可以说该线性系统是临界稳定的。
必要条件：如果方程式的根都是负实根，或其实部为负的复数根，则特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。
3.7 劳斯稳定判据
3.7.1 劳斯-赫尔维茨（Routh-Hurwitz）稳定判据
判别系统稳定性最基本的方法是根据特征方程式的根的性质来判定。但求解高于三阶的特征方程式相当复杂和困难。所以在实际应用中提出了各种工程方法，它们无需求特征根，但都说明了特征根在复平面上的分布情况，从而判别系统的稳定性。本节主要介绍代数判据。
（一） 系统稳定性的初步判别 设已知控制系统的特征方程
式中所有系数均为实数，且a0>0
系统稳定的必要条件是上述特征方程式所有系数均为正数。可简单证明如下：
将特征方程写成用特征根表达的形式
（3-1）
假如所有特征根均在S平面的左半部，即-ζi<0，-αk<0，则式（3-1）中的ζi<0，αk<0 （i=1，…，q；k=1，…，l；q+2l=n），若把式（3-1）的乘积展开，s多项式的各项系数必然均大于零。
根据这一原则，在判别系统稳定性时，可事先检查一下系统特征方程式的系数是否均为正数。如果有任何一项系数为负数或等于零（即缺项），则系统是不稳定或临界稳定的。假如只是判别系统是否稳定，到此就不必作进一步的