中国GDP增长的数学模型及其分析与预测
摘要
1978 年11月，中国经济开始改革开放，之后中国经济持续高速发展达30年之久，让全世界瞩目。这30年中，中国经济增长成为世界第三大经济体。
国内生产总值(GDP)是现代国民经济核算体系的核心指标，是衡量一个国家综合国力的重要指标。
本文就1978年到2008年的生产总值(GDP)等相关统计数据，先建立了关于GDP增长
的回归预测模型．通过matlab编程计算， 本文判断出
234??15706y.3967?16126.7508x?6564.1066x?1124.7878x?95.8665x567?4.1564x?0.0880x?0.0007x对现实数据的拟合效果最好，从而预测了2009年
到2018年的GDP总量，但是预测值与实际极度不符。
为了得到更好的预测结果 ，本文建立了ARIMA模型。 通过计算自相关函数和偏相关函数，确定取d=2。利用AIC准则定阶，取ARIMA（1,2,2）模型。计算得到2009年到2018年的GDP总量，通过与2009及2010的GDP总量比较，发现该模型短期预测精度是比较高的。
选取ARIMA模型预测的结果进行分析，预计中国GDP将继续保持增长，不过增长率缓慢下降。猜想：GDP年增长率最后将趋于稳定。 关键词：GDP；回归预测模型；ARIMA模型
引言
国内生产总值(Gross Domestic Product，简称GDP)是指在一定时期内(一个季度或一年)，一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标。它不但可反映一个国家的经济表现，更可以反映一国的国力与财富。
一般来说，国内生产总值共有四个不同的组成部分，其中包括消费、私人投资、政府支出和净出口额。用公式表示为：GDP?CA?I?CB?X。式中：CA为消费、I为私人投资、CB为政府支出、X为净出口额。
一个国家或地区的经济究竟处于增长抑或衰退阶段，从这个数字的变化便可以观察到。一般而言，GDP公布的形式不外乎两种，以总额和百分比率为计算单位。当GDP的增长数字处于正数时，即显示该地区经济处于扩张阶段；反之，如果处于负数，即表示该地区的经济进入衰退时期了。国内生产总值是指一定时间内所生产的商品与劳务的总量乘以“货币价格”或“市价”而得到的数字，即名义国内生产总值，而名义国内生产总值增长率等于实际国内生产总值增长率与通货膨胀率之和。因此，即使总产量没有增加，仅价格水平上升，名义国内生产总值仍然是会上升的。在价格上涨的情况下，国内生产总值的上升只是一种假象，有实质性影响的还是实际国内生产总值变化率，所以使用国内生产总值这个指标时，还必须通过GDP缩减指数，对名义国内生产总值做出调整，从而精确地反映产出的实际变动。因此，一个季度GDP缩减指数的增加，便足以表明当季的通货膨胀状况。如果GDP缩减指数大幅度地增加，便会对经济产生负面影响，同时也是货币供给紧缩、利率上升、进而外汇汇率上升的先兆。
一国的GDP大幅增长，反映出该国经济发展蓬勃，国民收入增加，消费能力也随之增强。在这种情况下，该国中央银行将有可能提高利率，紧缩货币供应，国家经济表现良好及利率的上升会增加该国货币的吸引力。反过来说，如果一国的GDP出现负增长，显示该国经济处于衰退状态，消费能力减低时，该国中央银行将可能减息以刺激经济再度增长，利率下降加上经济表现不振，该国货币的吸引力也就随之而减低了。因此，一般来说，高经济增长率会推动本国货币汇率的上涨，而低经济增长率则会造成该国货币汇率下跌。例如，1995-1999年，美国GDP的年平均增长率为4.1%，而欧元区11国中除爱尔兰较高外(9.0%)，法、德、意等主要国家的GDP增长率仅为2.2%、1.5%和1.2%，大大低于美国的水平。这促使欧元自1999年1月1日启动以来，对美元汇率一路下滑，在不到两年的时间里贬值了30%。但实际上，经济增长率差异对汇率变动产生的影响是多方面的：
一是一国经济增长率高，意味着收入增加，国内需求水平提高，将增加该国的进口，从而导致经常项目逆差，这样，会使本国货币汇率下跌。
二是如果该国经济是以出口导向的，经济增长是为了生产更多的出口产品，则出口的增长会弥补进口的增加，减缓本国货币汇率下跌的压力。
三是一国经济增长率高，意味着劳动生产率提高很快，成本降低改善本国产品的竞争地位而有利于增加出口，抑制进口，并且经济增长率高使得该国货币在外汇市场上被看好，因而该国货币汇率会有上升的趋势。
在美国，国内生产总值由商务部负责分析统计，惯例是每季估计及统计一次。每次在发表初步预估数据(The Preliminary Estimates)后，还会有两次的修订公布(The First Revision & The Final Revision)，主要发表时间在每个月的第三个星期。国内生产总值通常用来跟去年同期作比较，如有增加，就代表经济较快，有利其货币升
值；如减少，则表示经济放缓，其货币便有贬值的压力。以美国来说，国内生产总值能有3%的增长，便是理想水平，表明经济发展是健康的，高于此水平表示有通货压力；低于1.5%的增长，就显示经济放缓和有步入衰退的迹象。
国内生产总值（GDP）是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果。这个指标把国民经济全部活动的产出成果概括在一个极为简明的统计数字之中，为评价和衡量国家经济状况、经济增长趋势及社会财富的经济表现提供了一个最为综合的尺度，可以说，它是影响经济生活乃至社会生活的最重要的经济指标。对其进行的分析预测具有重要的理论与现实意义。
本文以我国为例，建立数学模型，分析经济增长的内在特征。并对未来五年我国经济发展做出预测，为政府制定经济发展战略提供依据。
名词解释
GDP年增长率： 国内生产总值（GDP）增长率是指GDP的年度增长率,需用按可比价格计算的国内生产总值来计算。 GDP增长率是宏观经济的四个重要观测指标之一，（还有三个是失业率、通胀率和国际收支）。
DP-上期GDPGDP增长率的计算公式为：以1978年为基年，GDP年增长率?本期G?100%. 上期GDP通过计算到表一的数据
表一 1978-2008年的GDP概况 年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993
GDP 3624.1 4038.2 4517.8 4862.4 5294.7 5934.5 7171.9 8964.4 10202.2 11962.5 14928.3 16909.2 18547.9 21617.8 26638.1 35334.0 GDP年增长率 0.0 11.4 11.9 7.6 8.9 12.1 20.9 25.0 13.8 17.3 24.8 13.3 9.7 16.6 23.2 32.6 年份 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 GDP 48198.0 60794.0 71176.6 78973.0 84402.3 89677.1 99214.6 109655.2 120332.7 135822.8 159878.3 183217.4 211923.5 257305.6 314045.0 GDP年增长率 36.4 26.1 17.1 11.0 6.9 6.2 10.6 10.5 9.7 12.9 17.7 14.6 15.7 21.4 22.1 数据分析
利用Matlab对表一中的数据进行处理，得到图1与图2
3.5x 105图1 GDP随时间变化曲线图2 GDP年增长率随时间变化曲线403352.530GDP年增长率/%GDP/亿元2251.5201150.510019751980198519901995时间/年20002005201051979198219851988199119941997200020032006时间/年
观察图1可得，自1978年开始中国的GDP一直保存增长状态。
通过图二，从GDP的年增长率来看，GDP年增长率的变化真是太快了，GDP年增长率在1980年到1981年处于下降，1981年到1985年保持上升，经过1986年的下降，接下来两年又保持上升状态，然后又是两年下降，随后到1994年一直增长达到最大值，接着连续5年下降，于1999年达到谷底，最后一直到2008年GDP年增长率起起伏伏，但变化非常小，总体上保持增长状态。
模型的建立
回归分析模型[1]
模型简介
多项式回归模型为:
y?b0?b1x?b2x2???bNxN （1-1）
将数据点(xi,yi)(i?1,2,...,n)代入，有
yi?b0?b1xi?b2xi?...?bnxi??i （ i ＝ １ ， ２ ，? ， n ）， (1-2)
式中b0,b1是未知参数，?i为剩余残差项或随机扰动项，反映所有其他因素对因变量yi的影响。
在运用回归方法进行预测时，要求满足一定的条件，其中最重要的是?i必须具备如下特征：1、?i是一个随机变量；2、?i的数学期望值为零，即E(?i)?0；3、在每一个时期
2n中，?i的方差为一常量，即D(?i)??2；4、各个?i间相互独立；5、?i与自变量无关。
大多数情况下，假定?i?N(0,?2)。 建立一元线性回归模型分以下步骤：
Step1、建立理论模型
针对某一因变量y，寻找适当的自变量，建立如（1-1）的理论模型
Step2、估计参数
运用普通的最小二乘法或其他方法评估参数b0和b1的值，建立如下的一元线性回归预测模型：
?i?b0?b1x?i?b2x?i2?...?bnx?in??i （ i ＝ １ ， ２ ，? ， n ） （1-2） y?和b?分别是b,b的估计值。 这里b0101 如果是采用最小二乘法估计b0和b1的值，即时残差平方和（也称剩余平方和）
Q(b0,b1)??????yi?(b0?b1xi)?
2ii?1i?1nn2达到最小， 令
?Q?Q?0,?0得 ?b0?b1Sxy??b1?,b0?y?bix （1-3） Sxxn1n1n其中 x??xi,y??yi,Sxx??(xi?x)
ni?1ni?1i?1n2Sxy??(xi?x)(yi?y)
i?1
Step3、进行检验
回归模型建立之后，能否用来进行实际预测，取决于它与实际数据是否有较好的拟合度，
模型的线性关系是否显著等。为此，在实际用来测量之前，还需要对模型进行一系列评价检验。
1、标准误差
标准误差是估计值与因变量值间的平均平方误差，其计算公式为：
S??)?(y?yiii?1n2n?2 （1-4）