若x?t??X?s?，则对于任意实数或复数s0 x?t?e ?X?s?s0? （5.18）
（5.20）式表明，时间函数乘以es0t，相当于像函数在s域内平移s0。
s0t例5.6 已知信号x?t??cos?t?e?at??t?，求X?s?。 解 已知
L?cos?t??t???利用复频移性质，有
X?s??同理可得
Lsin?t?e??t??t??5.3.5 时域微分性质
s 22s?? （5.19）
s???s???2???2???s???2??2 （5.20）
若x?t??X?s?，则
证明 利用分部积分的方法，得
?dx?t??sX?s??x?0?? （5.21）
dt?dx?t??st?st??st?st????edt?xte?xt?sedt?limex?t??x?0???sX?s? 0??0?dt?0?t??at当x?t??ce，t?0时，对于常数a和c，可知：若满足Re?s??a，则有
???? limet????stx?t??0 （5.22）
?因此可得
dx?t??st?0?dtedt??x?0???sX?s?
若x?t?是有起因信号，即t?0时，x?t??0，其单边拉氏变换就等于双边拉氏变换，也就是
dx?t??sX?s? dt若令n是正数，可将（5.24）式推广到x?t?的n阶导数，即
?x(t)?sX(s)?s(n)nn?1x(0?)?sn?2x?(0?)??x(n?1) (0?)?sX(s)??sn?1?mx(m)(0?) （5.23）
nm?0n?1注意，当x?t?为有起因信号时，为双边信号时，
d?x?t???d?x?t???t??，则二者对应的单边拉氏变换相等。但当x?t?dtdtd?x?t???d?x?t???t??，因此其单边拉氏变换不相等，故不要先取单边拉氏变换，再求导。dtdt这是与时移性质不同的。
若x?t??X?s?，则
或
5.3.6时域积分性质
?t0?x???d??X?s? （5.24）
sX?s?x??1??0??? ?x???d?? （5.25）
??sst 6
式中x??1??00?t??????x???d?????x???d?t?0?是
x?t?积分在t?0?的取值。
证明 根据拉氏变换的定义
L?t????0x???d????t???0x???d??e?stdt ????0????应用分部积分，得
st?L?t?e???0x???d??????????tx(?)d???s0???1??s?0x?t?e?stdt ??0?当t??和t?0?时，上式右边第一项为零，所以
L
?t?d??X?s?0x???s 当积分下限为??时，则
?t?0????x???d??????x???d??0x???d??x??1??0?????0x???d?
?两边取拉氏变换，有
L?tx??1??????x???d???0?????s?X?s?s
5.3.7 s域微分性质
若x?t??X?s?，则对任意正整数n，有
??t?nx?t??dndsnX?s? 特别是，当n?1时，有
tx?t???ddsX?s? 当n?2时，有
tx?t??d22ds2X?s? 证明
X?s????x?t?e?st0dt
两边对s求导，得
X??s????x?t?dds?e?st?dt???00??tx?t??e?stdt
即
?tx?t??dX?s?例5.7 求L?t2e??t??t??ds 。
解 已知
e??t??t????1??s????
应用复频移性质，有
??t?2e??t??t????1???s?a??
即 L?t2e??t??t???d??1?2ds???s???2????s???3
5.26）5.27）5.28）7
（ （ （ 5.3.8 s域积分性质 若x?t??X?s?，则
?x?t???X???d? （5.29） ts证明
??X???d?????s???0x?t?e??tdt?d???????x?t?????se??ts??0?d????dt
???x?t?e??t??x?t?st0t??sdt??0e?dt ???t例5.8 求抽样信号Sa?t?的拉氏变换。
解 已知
sint?1s2?1 则 Sa?t??sintt???1s??1d??arctan??2s??2?arctans
5.3.9 卷积定理
若x1?t??X1?s?，x2?t??X2?s?，则
时域卷积
x1?t??x2?t??X1?s?X2?s? 复频域卷积
x1?t??x12?t??2?jX1?s??X2?s? 卷积定理与傅氏变换卷积定理类似，故证明省略。 例5.9 求??t????t?。 解 已知 ?(t)?1s，则
??t????t??1?11ss?s2 5.3.10 初值定理
若x?t??X?s?，且lims??sX?s?存在，则x?t?的初值为
x?0???limt?0x?t??lims??sX?s? 证明 利用时域微分性质，可知 L?x??t???sX?s??x?0??
由定义式（5.5），得
L?x??t?????0??0x??t?e?stdt???0x??t?e?s?0dt??x??t?e?stdt
?0??x?0??st???x?0????0x??t?edt ?以上两式相等，则
sX(s)?x?0?????0x??t?e?stdt ?两边取极限，有
lims??sX?s??x?0??lim??s???0x??t?e?stdt
?由于
5.30） 5.31）
5.32）
5.33）
8
（ （ （ （lim?x??t?e?stdt??x??t?lime?stdt?0
s??0?0?s????因此
x?0???limsX?s?
s??（5.34）式表明，可以通过已知s域像函数来求信号x?t?的初始值，无需通过反变换计算x?t?而得到初值，从而为计算x?t?的初值提供了另一条途径。
注意，此定理存在的条件是要求limsX?s?存在，则X?s?必须为真分式，即在时域中意味着x?t?在
s??t?0处不包含冲激及其导数。若X?s?是假分式，必须利用长除法将X?s?分成一个多项式与一个真分式
之和，即
X?s???多项式?X0?s?
其中X0?s?为真分式部分。可以证明其初值仅与X0?s?有关，由X0?s?来决定初值大小，即
x?0???limsX0?s?
s????m??t?，多项式对应的反变换为
km??m??t??km?1??m?1??t????k0??t?，而冲激函数??t?及其导数??m??t?在t?0?时刻全为零，并不影响x?0??值，可移去X?s?的?多项式，只利用X?s?的真分式X0?s?求x?t?的初值。
根据时域微分性质，sm的反变换为
例5.10 已知像函数X?s??解 X?s?分子的阶次等于分母的阶次，不是真分式。故需利用长除法将其分解为
2s?1，试求原函数x?t?的初值x?0??。 s?3X?s??2??5 s?3则
x?0???lims?s???5??5 s?35s，表明原点处有一个强度为2的冲激偶信号，在这种情况下直接应用s?3（5.34）式，将得到x?0????的错误结果。
注意若取sX?s??2s?若x?t??X?s?，且limx?t?存在，则
t??5.3.11终值定理
x????limx?t??limsX?s? （5.34）
t??s?0证明
利用式（5.35），对s?0取极限，有
limsX?s??x?0????x??t?lime?stdt?x?0???x????x?0???x???
s?00?s?0?由于时间信号x?t?当t??时的极限可以直接从其拉普拉斯变换X?s?计算得到，因此终值定理也是一个很有用的性质。其条件是必须保证limx?t?存在。这个条件相当在复频域中，X?s?的极点都位于s平面
t??的左半部或是坐标原点处的单极点。
需要注意，x?t?的极限不存在，但s?0时，sX?s?的极限却可能存在，可以通过检验X?s?的极点来确定信号在t??时的极限是否存在。
例5.11 已知像函数X?s?，求其原函数的终值x???
1s??s（2）X?s??2
s?1（1）X?s??
???0?
9
解
（1）由于X?s?的极点在s平面的左半平面，满足终值定理的条件，则
x????limsX?s??lims?0s?0s0??0 s??0??也可根据拉氏反变换得
?1?x?t??L?1??e??t??t? ??s???则 x????0
两种解法结果一致。
（2）X?s?的极点s1，2??j，均位于虚轴上，不能应用终值定理，x?t?的终值不存在。而
?s?x?t??L?1?2?cost??t?，终值不存在。 ??s?1?表5.2给出了拉普拉斯变换的性质
表5.2 拉普拉斯变换的性质
信号 ?x1?t???x2?t? 性质 线性 时间尺度变换 时间右移 复频移 时域微分 时域积分 拉氏变换 ?X1(s)??X2?s? 1?s?X?? a?a?X?s?e?st0 x?at??a?0? x?t?t0???t?t0??t0?0? x?t?es0t x??t? X?s?s0? sX?s??x?0?? X?s? sdnX?s? dsn??t0?x(?)d? s域微分 s域积分 卷积定理 初值定理 终值定理 ?sX???d? tx1?t??x2?t? X1?s?X2?s? 若limsX?s?存在，x?0???limsX?s? s??s????t?nx?t? x?t? 若limx?t?存在，x????limx?t??limsX?s? t??t??s?05.4拉普拉斯反变换
5.4.1简单函数的拉普拉斯反变换
简单函数的拉普拉斯反变换可以应用表5.1拉氏变换对及表5.2拉氏变换的性质得到相应的时间函数。
1?2e?s例5.12 X?s??，求原函数x?t?
s?1解 X?s?可写成
1?2e?s12e?sX?s????
s?1s?1s?1利用时移与复频移性质，可得
x?t??e?t??t??2e??t?1???t?1?
10