例5.13 X?s??解 已知像函数
1，求原函数x?t?。
1?e?2s11?e?2sX?s??? ?2s?4s1?e1?e由周期信号的拉氏变换
xT?t??其中
X1?s? ?sT1?eX1?s??1?e?2s?x1?t????t????t?2?
则
x?t???x1?t?nT???x1?t?4n??????t?4n????t?2?4n??
n?0n?0n?0???5.4.2 部分分式展开
在5.1节中曾指出，利用反变换的定义式
x?t??1??j?st??Fseds ?2?j??j?可以由已知的X?s?确定出其原函数x?t?。但由于在计算过程中将要遇到较为繁琐的复变函数下的积分运
算，所以通常不采用这种解法。
部分分式展开法是常用的一种较为简捷的方法。 设x?t??X?s?，它具有如下式：
B?s?bmsm?bm?1sm?1???b0 X?s?? （5.35） ?nn?1A?s?ans?an?1s???a0式中，B?s?和A?s?是复变量s的多项式，m和n都是正整数，且系数ai和bi为实数。
设分母s的最高次项的系数an?1。一般假设B?s?和A?s?没有公因子，如果有应该约去。 若m?n，则称X?s?为真分式。若m?n，则要用长除法将X?s?化成多项式与真分式之和。
必须指出，拉氏变换像函数并不都是有理函数，但由复指数函数的线性组合构成的连续时间函数的拉氏变换像函数都是有理函数，故部分分式展开就是把一个有理多项式展开成低阶项的线性组合。
为了达到反变换的目的，在满足以上条件后，通常是将式（5.37）展开成多个部分分式之和的形式。一般有两种展开形式。
（1）若分母多项式A?s?中包含?s?p?形式的因子，则可分解为
k A?s??C1?s?p?k?s?p?k?1?C2???Ck （5.36） s?p（2）若分母多项式A?s?中包含s2?ps?q形式的因子，且需满足p2?4q?0，则可分解为 A?s????k其中，Ci和Di?i?1，2，?，k?为待定系数
5.4.3 待定系数的求法
?sC1s?D12?ps?q??sk?C2s?D22?ps?q?k?1???Cks?Dks2?ps?q （5.37）
对有理函数X?s?做了部分分式展开后，需确定每种分解形式下的待定系数。可分3种情况，采用不同的手段来确定待定系数。
1．分母方程式A?s??0中无重根
由于A?s?为s的k次多项式，可对其进行因式分解
A?s???s?p1??s?p2???s?pk? （5.38）
?，pn代表等式A?s??0的根，且均不相同，则X?s?可展成 其中，p1，p2， 11
CnCkC1C2B?s? （5.39） ????????A?s?s?p1s?p2s?pns?pkC?s?pn?将式（5.41）两端同乘以?s?pn?，并令s?pn，则等式右端除n?Cn项外，其余各项均s?pn X?s??为零，从而得到
Cn???s?pn?X?s??s?p （5.40） n可利用式（5.42）确定分母无重根时的待定系数。
由式（5.40）可知，pn是A?s??0的一个根。将p?n代入式（5.42），有
Cs?pn?B?s?n?slim?pnA?s??A?p??slimB?s?n?pnA?s??A?pn?s?pn即
CBn?lim?s?s?pA??s? n其中A??s?为A?s?的一阶导数。式（5.43）也可用来计算待定系数Cn。
例5.14 求X?s??s?4s3?s2?2s的展开式。 解 由于像函数满足部分分式展开的条件，故先将X?s?做部分分式展开，有
X?s??s?4s?C??1C2C3s3?s2?2s?4s?s?1s?2??s?s?1?s?2 显然分母多项式包含3个不等实根。由此利用式（5.42）确定待定系数：
Cs?41?sX?s?s?0?s?s?1??s?2?s?0??2
Cs?s?42??s?1?X?s??1?s?s?2?s?2?1
C2?X?s?s?43??s?s?2?s?s?1?s?2?1
所以
X(s)??21s?s?1?1s?2 例5.15 已知X?s??ss2?3s?2，求x?t?。
解 首先将像函数X?s?展开成部分分式和的形式，有
X?s??2sCCs2?3s?2??s?1??s?2??1s?1?2s?2
进一步确定待定系数，由式（5.43），得
Cs1?lims??12s?3??1?2?3??1Cs?2
2?slim??22s?3??4?3?2
代入X?s?的表达式中，有
X?s???12s?1?s?2 根据拉氏变换对可得
5.41） 12
（?1L?1?????e?t??t? s?1所以
2L?1???2e?2t??t?s?2
2．分母方程式A?s??0中有重根
在这种情况下，可采用平衡系数法来确定待定系数。 例5.16 求X?s??2???1?2t?tx?t??L?1???2e?e??t? ??s?1s?2???s?4?s?1??s?2?2的反变换。
解 该像函数的分母方程式中有二阶重根，s1，2??1，在这种情况下，分解的部分有两项，即
X?s??在分子恒等式中有 比较等式两端的系数，有
C1?s?1?2?C2A ?s?1s?22s?4?C1?s?2??C2?s?1??s?2??A?s?1?
?C2?A?0??C1?3C2?2A?1?2C?2C?A?42?1
?C1?3??C2??2?A?2?
解得
则
X?s??由常用信号的拉氏变换对可得
3?s?1?23??22 ?s?1s?2?s?1?2?3te?t??t?
可得
?2??2e?t??t?s?1 2?2e?2t??t?s?2
3．分母方程式A?s??0中有共轭复根
当分母方程式中出现共轭复根时，可以按分母方程式为单根的方法来确定系数，也可采用“配方”的形式，即将其配成正、余弦像函数的形式，然后求反变换。
例5.17 已知像函数X?s??x?t??3te?t?2e?t?2e?2t??t?
??解 由于X?s?的分母方程式的根是一对共轭复根。因此分解部分分式所对应的原函数一定是个复指数函数；复指数的实质是正弦信号。考虑到上述情况，可不采用常规的分解因式的解法，而采用配方的方法将其向式sin?0t及式cos?0t“靠拢”。
因为
13
s?1，求x?t?。
s2?6s?10所以
s2?6s?10??s?3??1
2X?s??s?1s?1 ?22s?6s?10?s?3??1由sin?0t及cos?0t的拉氏变换和拉氏变换的复频移性质，可得
e?atsin?0t??t??e?atcos?0t??t??又因为
?0?s?a???220
s?a?s?a???220X?s??可得反变换为
s?3?s?3?2?1?2?1?s?3?2?1
x?t??e?3tcost??t??2e?3tsint??t?
利用“配方”的方法可以避免求根和确定系数以及其最后整理等过程，从而使反变换的求解过程大大简化。
例5.18 已知X?s??s，求其原函数x?t?。 2s?2s?5解法一：平衡系数法 共轭极点s1，2??1?j2，则
比较系数 得
C1C2 ?s?1?j2s?1?j2C?s?1?j2??C2?s?1?j2??1s2?2s?5?C?C2?s?C1?C2?j2?C1?C2??1s2?2s?5
X?s???C1?C2?s?C1?C2?j2?C1?C2??s
C1?2?j2?j，C2?44
所以
X?s??则其反变换
2?j12?j1?
4s?1?j24s?1?j2x?t??即
2?j??1?j2?t2?j??1?j2?t1?tj2tje?e?ee?e?j2t?e?tej2t?e?j2t 4424????1??x?t???cos2t?sin2t?e?t，t?0
2??注意要一直计算到全部为实数为止。
解法二：配方法
X?s??ss?1?1s?121 ????2222222s?2s?5?s?1??4?s?1??2?s?1??214
1x?t??cos2te?t?sin2te?t，t?0
25.4.4围线积分法 拉普拉斯反变换式为
半径j?1??j?st??x?t??Xseds ???j?2?j积分路径是s平面上平行于虚轴的直线。为求出此复变
函数积分，可从积分限?1?j?到?1?j?补足一条半径为
无穷大的圆弧，以构成一闭合由线，如图5.4所示。根据留数定理， 此积分式等于围线中被积函数X?s?est所有极点的留数之和，即
x?t??st其中，ResX?s?e?O?1?图5.4围线积分路径
st??ResXse?i?1n??s?pi （5.42）
??s?pi为X?s?est在极点s?pi的留数，并设在围线中共有n个极点。
若pi为单极点，则 若pi为k阶极点，则
ResX?s?est ResX?s?e??s?pi??s?pi?X?s?est??s?pi （5.43）
?st?s?pi1?dk?1kst??????s?pXsei?k?1?k?1?!??ds?s?pi （5.44）
5.5线性系统的拉普拉斯变换分析法
5.5.1微分方程的复频域求解
用单边拉氏反变换求得的仅仅是x?t?的正时域部分，不能恢复出在t?0?的那部分信号。但是由于许多实
际的连续系统，特别是以真实时间变量信号描述的系统，都是一类用微分方程描述的因果系统。这类系统的数学描述，可以归结为具有非零起始条件的线性常系数微分方程。然而人们要求出的通常只是输入时刻之后的系统输出，对以前的那部分输出一般不感兴趣。
对于LTI因果系统，系统的输出y?t??yzi?t??yzs?t?，其中yzs?t?仅由外施激励决定，故在t?0时，
由于单边拉氏变换的积分下限取为0?，因此像函数X?s?中只包含t?0的信号x?t?的信息。因此，
yzs?t??0。而yzi?t?与外施激励无关，它取决于非零起始条件，在t?0时，yzi?t??0。因此对此类系统进
行分析，其双边拉氏变换对求解零输入响应无能为力，但单边拉氏变换却可以，尽管它们只能表示非负时域中的信号，却适于y?t?，t?0的讨论。
在下面的讨论中可以看到，用单边拉氏变换不仅可以求解零状态响应的复频域解，还可以把非零起始条件直接化成零输入响应的复频域表示。
下面讨论具有非零起始条件的线性常系数微分方程的复频域求解： 设LTI系统的微分方程的一般式为
anyn?t??an?1y?n?1??t????a1y??t??a0y?t?
?bmxm?t??bm?1xm?1?t????b1x??t??b0x?t? （5.45）
????假设t?0时，x?t??0，则
x?0???x??0?????x?n?1??0???0 对式（5.47）两边取拉氏变换，利用微分性质，有
n?1n?2?n??n?1?n?1?i?i?an?sY?s???sy?0????an?1?sY?s???sn?2?iy?i??0??????i?0i?0????
a1?sY?s??y?0????a0Y?s??bmsmX?s??bm?1sm?1X?s????b1sX?s??b0X?s?
15