20、一批产品共100个,其中有次品5个，每次从中任取一个，取后不放回, 设Ai( i =1，2，3，)表示第i次抽到的是次品，求：
P?A2A1??4955PA2A1?PA2A1?，，
99 99 99PA3A1A2?
????PA2A1???943，P?A3A1A2?? ， 99 98??94 98
21、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，
乙厂的合格率是80%。若用事件A、A分别表示甲、乙两厂产品，B表示合格品。 试写出有关事件的概率. (1)P(A)? 70%
(2)P(A)? 30% (3)P(B|A)? 95%
(4)P(B|A)? 80% (5)P(B|A)? 5% (6)P(B|A)? 20%
22、袋中有10个球，9个是白球，1个是红球，10个人依次从袋中各取一球，每人
取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，……，最后一人取得红球的概 率各是多少？ 解: 解：设Ai第i个人取得红球的事件(i?1,2,?,10),
则Ai为第i个人取得白球的事件，
1 ,A2?A1A2?A1A2?A1A2(?A1A2??) 10911?P(A2)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2|A1)???
10910显然P(A1)?同理P(A10)?P(A1A2?A9A10)?9!1? 10!1023、某种动物由出生活到20年以上的概率为0.8，活25年以上的概率为0.4，问现 年20岁的这种动物活支25岁以上的概率是多少？
则所求事件的概率为P(B|A)?P(AB) P(A)?B?A?AB?B
解：设A为{由出生活到20岁}的事件，B为{由出生活到25岁}的事件
6
P(B|A)?P(AB)P(B)0.41??? P(A)P(A)0.82
24、十个考签中四个难的，三人参加抽签，(不放回)甲先、乙次、丙最后，记事件 A,B,C分别表示甲、乙、丙各抽到难签，求P(A),P(AB),P(AB),P(ABC). 解：P(A)?4142P(AB)?,P(AB)? P(ABC)?
1530101525. 设 0< P(C) <1 ，试 证 ：对 于 两 个 互 不 相 容 的 事 件 A，B，恒 有
P { ( A ?B )?C} = P{A?C} + P{B?C}
P?A?B?C???证:
?
P??A?B??C?P?C?
P?AC?BC?P?AC??P?BC?? ?PAC?PBC
????PCPC????26、设事件A与B互斥，且0?P(B)?1，证明P(A|B)?证明：由于AB??，故A?A(B?B)?AB
P(A).
1?P(B)?P(A|B)?P(AB)P(A)?P(B)1?P(B)(P(B)?1)
27、一批零件为100个，次品率为10%，每次从中任取一个，不再放回，求第三次才 能取得正品的概率是多少？
解：设Ai为{第i次取到正品}，(i?1,2,3)由于次品率为10%，故100个零件约有90个正品，次品10个，设A为{第三次抽到正品}，即第一次第二次都取得次品，第三次才取得正品，则由一般乘法公式得
10990???0.0083 P(A)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?100999828、设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000 个男人和 2000个女人中任意抽查一人， 求 这 个 人 是 色 盲 者 的 概 率。 解:
A ：“ 抽到的一人为男人”；B ： “ 抽到的一人为色盲者”
351?则 P?A??,P?BA??
5100207
2251? PA?,PBA?510000400????
P?B??P?A?P?BA??PAPBA 312131?????52054001000
29、设有甲、乙两袋，甲袋装有n只白球，m只红球；乙袋中装有N只白球，M只红
球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白 球的概率是多少？
解：设H1表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，
H2表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，
B表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件， 所求事件B?BH1?BH2
由全概率公式：P(B)?P(H1)P(B|H1)?P(H2)?P(B|H2)
nm,P(H2)?易知：P(H1)? n?mn?mN?1NP(B|H1)?,P(B|H2)?
N?M?1N?M?1nN?1mN?于是P(B)?
n?mN?M?1n?mN?M?130、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产品占全厂产品的比例 分别为25%,35%,40%；并且它们的废品率分别是5%,4%,2%
(1)今从该厂产品中任取一件问是废品的概率是多少？
(2)如果已知取出的一件产品是废品，问它最大可能是哪个车间生产的？
解：设A?“所取出的一件产品是废品”，B1?“产品系甲车间生产”，
B2?“产品系乙车间生产”， B3?“产品系丙车间生产”
已知P(B1)?0.25 P(B2)?0.35 P(B3)?0.4
P(A|B1)?0.05 P(A|B2)?0.04 P(A|B3)?0.02 (1)由全概率公式：
P(A)??P(A|Bi)P(Bi)?0.25?0.05?0.35?0.04?0.4?0.02?0.0345
i?13????(2)由贝叶斯公式：
P(B1|A)?P(A|B1)P(B1)0.25?0.05??0.3623
P(A)0.03458
P(B2|A)?P(A|B2)P(B2)0.35?0.04??0.4058
P(A)0.0345P(A|B3)P(B3)0.02?0.4??0.2319
P(A)0.0345P(B3|A)?所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的.
31、如图1,2,3,4,5表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设 各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率.
1 2
3 L R 5 4
解: 设Ai为第i只继电器闭合的事件，B为有电流从L流向R的事件， 已知P(Ai)?p(n?1,2,?5)
显然B?A1A2?A4A5?A1A3A5?A2A3A4
故P(B)?P(A1A2)?P(A4A5)?P(A1A3A5)?P(A2A3A4)?P(A1A4A2A5)
?P(A1A2A3A5)?P(A1A4A2A3)?P(A4A5A1A3)?P(A2A5A3A4) ?P(A1A3A5A2A4)?P(A1A4A2A5A3)?P(A1A4A2A5A3) ?P(A2A5A1A3A4)?P(A1A4A3A5A2)?P(A1A2A3A4A5) ?2p2?2p3?5p4?2p5
32、在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4盒是丙厂
生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为0.8，0.7，0.6， 0.5 ， 现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品， 试问该盒产品属于 哪一个厂生产的可能性最大 ？
解: Ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒产品属于甲，乙 ，丙 ，丁厂生产 ” B ： “ 所 取 一 个 元 件 为 不 合 格 品 ”
5742则 P?A1??， P?A2??， P?A3??， P?A4??
18181818
P?BA1??0.2， P?BA4??0.5
4P?BA2??0.3，
P?BA3??0.4，
由 全 概 率 公 式 : P?B???P?Ai?P?BAi? =
i?157 180由 贝 叶 斯 公 式 :
9
P?A1B??10211610,P?A2B??,P?A3B??,P?A4B?? 57575757故 该 盒 产 品 由 乙 厂 生 产 的 可 能 性 最 大
33、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7。
飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6。若 三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.
解：设Ai(n?0,1,2,3)表示“恰有i人击中飞机”，B为飞机被击落，
P(A1)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36 同理P(A2)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.4?0.5?0.7?0.41
P(A3)?0.4?0.5?0.7?0.14
易知P(B|A0)?0,P(B|A1)?0.2，P(B|A2)?0.6,P(B|A3)?1 由全概率公式
P(B)?P(B|A0)P(A0)?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?P(B|A3)P(A3) ?0?0.09?0.2?0.36?0.6?0.41?1?0.14?0.458
34、袋中装有N?1只白球，一只红球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只白 球，这样继续摸下去，问第k次摸球时摸到白球的概率是多少？
解：设事件A表示第k次摸到白球，则事件A表示第k次摸到红球。 因为袋中只有1只红球，而每次摸出一球总换入一只白球，故为了第k次摸到红球，前k-1次
一定不能摸到红球，因此A等价于下列事件: 在前k-1次摸球时都摸到白球而第k次摸出红球， 所以
1k?11(N?1)k?1?11k?11P(A)?1?P(A)?1?(1?)? P(A)??(1?)? 因此
NNNNNk
第2章一维随机变量 习题2
一. 填空题：
10