FY(y)?P{Y?y}?P{2x2?1?y}?P{x2???y?12y?1?2y?1y?1}?P{??x?22x2?Y?1?0 2y?1 21e2??x22dx?22??y?120e?x22dx,当y?1时，FY(y)?0，Y的概率密度
?1??(y)?FY?(y)??4??2y?1y?1[f()?f(?)],y?1 y?1220y?1y?1,y?1y?1??1e4,?即?(y)??2?(y?1)?0,?
(3)Y?|x|,y?|x|?0，当y?0时，Y的分布函数
FY(y)?P{Y?y}?P{|x|?y}?P{?y?x?y}??1?2?y?yf(x)dx
?y?ye?x222dx?2??y0e?x22dx
?2f(y),y?0当y?0时，FY(y)?0，Y的概率密度?(y)?F??(y)??
0,y?0?当y?0时，FY(y)?P{|x|?y}?0,?(y)?0
?2?ye2,y?0??(y)??2?
?0,y?0?229、设电流I是一个随机变量，它均匀分布在9安~11安之间，若此电流通过2欧姆的电阻，在其上消耗的功率为W?2I2，求W的概率密度.
?1?,9?x?11解：由题意I的概率密度为f(x)??2
??0,其它w?2I2,w?2x2,x??w,当9?x?11时,162?w?242 221
对于w?0,Fw(w)?P{w??}?P{??2?I??2?}??2??2f(x)dx
由于w?0，所以当w?0时，其分布函数Fw(w)?0，
?(w)?故w的概率密度f(w)?Fw1； 4w?111?1ww??,162?w?242[f()?f(?)],w?0??f(w)??22w ??22w242w22?0,其它0,w?0???30、设 正 方 体 的 棱 长 为 随 机 变 量 ? ，且 在 区 间 ( 0 ， a ) 上 均 匀 分 布 ，
求 正 方 体 体 积 的 概 率 密 度 。 ( 其 中 a > 0 )
解:
正 方 体 体 积 ? = ? 3
函 数 y = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 数 x?h(y)?y3
1?2h(y)?y33'
1, ??h?y???1 a?1?2?y3(0?y?a3)? 的 概 率 密 度 为 ψ?y???3a
? ?0 2?,x?0?31. 设 随 机 变 量 ? 的 概 率 密 度 为 ??x????x2?1
??0,x?0?? 求 随 机 变 量 ? = l n ? 的 概 率 密 度 。
解：函 数 y = l n x 的 反 函 数 x = h ( y ) = e y ， 当 x 在 ( 0 ， +? )上 变 化 时 ， y 在 (??? ， + ? ) 上 变
化 ，
h? (y)?ey,??h?y????e?22y?1?
22
2ey于 是 ? 的 概 率 密 度 为 ?(y)????y???
?e2y?1??
32. 已 知 某 种 产 品 的 质 量 指 标 ? 服 从 N(? , ?2)， 并 规 定 | ? ??? | ? m时 产 品 合 格 ， 问 m取 多 大 时 ， 才 能 使 产 品 的 合 格 率 达 到 95%。 已 知 标 准 正 态 分 布 函 数 Φ (x)的 值 ：Φ (1.96) = 0.975 , Φ (1.65) = 0.95 , Φ (??1.65) = 0.05, Φ (??0.06) = 0.475 .
解：P{ | ? ??? | ? m} = 0.95，此式等价于 P{???m ? ? ? ? + m} = 0.9
因 为 ? 服 从 N(? , ?2 )， 故 P{???m ? ? ? ? + m} = ?(??m????m??)??() ?? ??(mmm)??(?)?2?()?1?0.95 ???
m?1.96 得 m = 1.96? ? 故 m 取 1.96? 时 才 能 使 产 品 合 格 率 达 到 95%。
查 表
23
第三章 多维随机变量及其分布
一、填空题
1、随机点(X,Y)落在矩形域[x1?x?x2,y1?y?y2]的概率为 F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y1)?F(x1,y2).
2、(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(??,y)? 0 . 3、(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(x?0,y)?F(x,y) 4、(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(x,??)?FX(x) 5、设随机变量(X,Y)的概率密度为
?k(6?x?y)f(x,y)??0?0?x?2,2?y?4其它1，则k? .
86、随机变量(X,Y)的分布如下，写出其边缘分布.
X Y 1 3 0 0 1 81 3 82 3 83 0 1 8P?j 6 82 80 0 24
Pi?
1 83 83 81 8 7、设f(x,y)是X,Y的联合分布密度，fX(x)是X的边缘分布密度，则?1 .
????f(x)?
X8、二维正态随机变量(X,Y)，X和Y相互独立的充要条件是参数?? 0 .
9、如果随机变量(X,Y)的联合概率分布为
Y X 1 1 2 3 2 则?,?应满足的条件是 α?β?2 . 18???1116918 13? ? ；若X与Y相互独立，则?? 4 ，?? 1810、设X,Y相互独立，X~N(0,1),Y~N(0.1)，则(X,Y)的联合概率密度 f(x,y)?
1e2??x2?y22 ，Z?X?Y的概率密度fZ(Z)? 12?2e?x24 .
25