概率论与数理统计及其应用习题解答
12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A、症状B，有20%的人只有症状A，有30%的人只有症状B，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求 （1）该人两种症状都没有的概率； （2）该人至少有一种症状的概率；
（3）已知该人有症状B，求该人有两种症状的概率。
解：（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为1?20%?30%?10%?40%；
；
（2）至少有一种症状的概率为1?40%?60%（3）已知该人有症状B，表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为
100%?10%?14。
13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。
通讯线
1 2 3 4 通讯量的份额
0.4 0.3 0.1 0.2 无误差的讯息的份额
0.9998 0.9999 0.9997 0.9996 解：设“讯号通过通讯线i进入计算机系统”记为事件Ai(i?1,2,3,4)，“进入讯号被无误差地接受”记为事件B。则根据全概率公式有
4P(B)??P(A)P(B|A)?0.4?0.9998iii?1?0.3?0.9999?0.1?0.9997?0.2?0.9996
=0.99978
14，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确
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实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。 解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B。根据全概率公式有
P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?10%?85%?90%?4%?12.1%，
所以，根据条件概率得到所要求的概率为
P(B|A)?P(BA)P(A)?P(B)P(A|B)1?P(A)?10%(1?85%)1?12.1%?17.06%
即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.
15，计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？
解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件N1,N2,N3。则根据全概率公式有
3P(M)??P(Ni?1i)P(M|Ni)?0.6?0.01?0.3?0.05?0.1?0.04?0.025，
根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为
P(N1|M)?P(N1)P(M|N1)P(M)P(N2)P(M|N2)P(M)?0.6?0.010.0250.3?0.050.025?0.24， ，
P(N2|M)???0.60 7
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P(N3|M)?P(N3)P(M|N3)P(M)?0.1?0.040.025?0.16。
16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。
解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A，“一讯息是可信的”记为事件B。根据Bayes公式，所要求的概率为
P(B|A)?P(AB)P(A)?P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?95%?195%?1?5%?0.1%?99.9947%
17，将一枚硬币抛两次，以A,B,C分别记事件“第一次得H”，“第二次得H”，“两次得同一面”。试验证A和B，B和C，C和A分别相互独立（两两独立），但A,B,C不是相互独立。 解：根据题意，求出以下概率为
P(A)?P(B)?P(AB)?12?1212?，
14P(C)?12?12?12?1212??1212?；
14，
P(BC)?P(CA)?，P(ABC)?12?12?14。
所以有
P(AB)?P(A)P(B)，P(AC)?P(A)P(C)，P(BC)?P(B)P(C)。
即表明A和B，B和C，C和A两两独立。但是
P(ABC)?P(A)P(B)P(C)
所以A,B,C不是相互独立。
18，设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5,
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0.7, 0.6，设A,B,C各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。
解：设“A,B,C进球”分别记为事件Ni(i?1,2,3)。 （1）设恰有一人进球的概率为p1，则
p1?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}
?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)
（由独立性）
?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.4?0.5?0.3?0.6 ?0.29
（2）设恰有二人进球的概率为p2，则
p2?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}
?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3) （由独立性）
?0.5?0.7?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.3?0.6 ?0.44
（3）设至少有一人进球的概率为p3，则
p3?1?P{N1N2N3}?1?P(N1)P(N2)P(N3)?1?0.5?0.3?0.4?0.94。
19，有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。
解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH+型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少？因为
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第一次就检验出该型血的概率为0.4；
第二次才检验出该型血的概率为0.6?0.4=0.24； 第三次才检验出该型血的概率为0.62?0.4=0.144； 第四次才检验出该型血的概率为0.63?0.4=0.0864； 所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704
20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p，试求系统的可靠性。 解：设“元件i能够正常工作”记为事件Ai(i?1,2,3,4,5)。 那么系统的可靠性为
P{(A1A2)?(A3)?(A4A5)}?P(A1A2)?P(A3)?P(A4A5)
1 3 4 第20题 2 5 ?P(A1A2A3)?P(A1A2A4A5)?P(A3A4A5)?P(A1A2A3A4A5)
?P(A1)P(A2)?P(A3)?P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A4)P(A5)
?P(A3)P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)
?p?p?p?p?p?p?p?p?2p?2p?p?p2345223435
21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式）
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