)???yn,0?y?1。 ??1,y?1??1,y?1Y1,Yn的密度函数为
f(y)???n(1?y)n?1,0?y?1?y?1miny)???nyn?10max(,?0,其他，
f?0,其他。
所以Y1,Yn的数学期望为
??111E(Y?yfn?1n?11)?min(y)dy??ny(1?y)dy??n(1?y)dy??n(1?y)ndy?1，
??000n?1??1E(Yn)??yfmax(y)dy??nyndy?n??0n?1。
14，解：求出边缘分布律如下
X Y 0 1 2 P{X?k} 0 3/28 9/28 3/28 15/28 1 3/14 3/14 0 12/28 2 1/28 0 0 1/28 P{Y?k} 10/28 15/28 3/28 1 22E(X)??kP{X?k}?1/2， E(Y)??kP{Y?k}?3/4，
k?0k?022E(XY)???ijP{X?i}P{Y?j}?1?1?3/14?3/14， j?0i?022E(X?Y)???(i?j)P{X?i}P{Y?j}??7/28??1/4，
j?0i?022E(3X?2Y)???(3i?2j)P{X?i}P{Y?j}?84/28?3。
j?0i?015，解：22E[min(X,Y)]???min(i,j)P{X?i}P{Y?j}?1?3/14?3/14，
j?0i?0
31
概率论与数理统计及其应用习题解答
22E[Y/(X?1)]???i?1P{Xj?0i?0j?i}P{Y?j}?18/28?9/14。
11?y16，解：E(X)???xfR?R(x,y)dxdy??dy02?24xydx?2/5，
2011?yE(Y)???R?Ryf(x,y)dxdy??dy?24y0101?yxdx?2/5，
。
E(XY)???R?Rxyf(x,y)dxdy??dy0?24xydx?2/1502217，解：根据题意，可得利润的分布律为
Y 2000 1000 0 -1000 -2000
pk 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 （元）
2E(Y)?2000?0.2?1000?0.3?1000?0.1?2000?0.1?400E(Y)?2000222?0.2?100022?0.3?(?1000)?0.1?(?2000)?0.1?16000002
D(Y)?E(Y)??E(Y)??1440000????。
?x/(2?)2218解E(X)??xf(x)dx???????0x22edx??xe?x/(2?)22?????0?e0?x/(2?)22dx???2，
??E(X)?2???xf(x)dx?22??0)2x32e?x/(2?)22dx??xe2?x/(2?)22?????0?2xe0?x/(2?)22dx??2?e22?x/(2???0?2?，
22D(X)?E(X)??E(X)??(2??/2)?2，
D(X)?(2??/2)?。
??（本题积分利用了
?e0?x/22dx??2，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）
19，解：E(X)??kP{Xk?1???????k}?p?k(1?p)k?1??k?1?p?1p2?1p，
??E(X)?2?k?1kP{X?k}?p?k(1?p)k?122k?1???k?1?p??k(k?1)(1?p)??k?1?k?1k(1?p)k?1??? 32
概率论与数理统计及其应用习题解答
?p(2p3?1p2)?2p2?1p，
2所以，D(X)?E(X)??E(X)??21p2?1p?1?pp2。
??k?1本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设s(p)??k(1?k?1p)，
p?1则?s(p)dp???(1?p)k?1?，所以s(p)??s(p)dp??pk?11?1????p?1??2?p?'。类似的，设
2S(p)??k(k?1)(1?k?1p)k?1，则经过两次积分以后可得到。
????(1?p)p，在经过
两次求导得到S(p)?20，解：（1）当k（2）当k2p3?1时，E(X)????xf(x)dx???k?xkk??dx?k?k??x1kdx?k?k?1。
???1时，E(X)????xdx??1???，即E(X)不存在。
??（3），当k?2时，E(X22)??x??22f(x)dx???xk?kk?1dx?k?2k?2，
所以，D(X)?（4）当kE(X)??E(X)???2?1?kk??k????2?2k?2(k?1)??(k?1)(k?2)2??22。
?2时，E(X)?2?x??f(x)dx???2?xdx???，所以D(X)不存在。
21，解：（1）根据14题中结果，得到
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?3/14?1/2?3/4??9/56；
， ，
因为E(X22)??kk?02P{X?k}?4/7，
2E(Y)?2?kk?02P{Y?k}?27/28所以D(X)?E(X)??E(X)??9/2822，D(Y)?E(Y)??E(Y)??45/11222 33
概率论与数理统计及其应用习题解答
?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)??55。
（2）根据16题结果可得：
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?2/15??2/5???2/752；
11?y3因为
E(X)?2??xR?R22f(x,y)dxdy?1?dy?24x01?y03ydx?1/5，
E(Y)?2??R?R2yf(x,y)dxdy??dy0?24yxdx?1/5，
0所以，D(X)?E(X)??E(X)??1/252，D(Y)?E(Y)??E(Y)??1/2522
D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)?2/75，
?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)??23。
（3）在第2章14题中，由以下结果
X 0 1 2 P{Y?k} Y 0 0.10 0.04 0.02 0.16 1 0.08 0.20 0.06 0.34 2 0.06 0.14 0.30 0.50 P{X?k} 0.24 0.38 0.38 1 得到，E(X)?1.14，E(Y)?1.34，E(XY)?1.8，E(X2)?1.9，E(Y2)?2.34， 所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.2724；
D(X)?E(X)??E(X)??0.600422，D(Y)?.
E(Y)??E(Y)??0.544422,
?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?0.27240.5717?0.476522，解：根据题意有 D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)
34
概率论与数理统计及其应用习题解答
?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(Y)?9?4?2?(?1/6)?6?11。
D(X?3Y?4)?D(X?4)?D(3Y)?2Cov(X?4,3Y)
?D(X)?9D(Y)?6Cov(X,Y)?9?36?6?(?1/6)?6?51。
23，解：（1）因为X1,X2,X3相互独立，所以
EX1(X2?4X3)?22??E(X221)E[(X2?4X3)]?E[X2?8X2X3?16X3]
222222 ?E[X2?8X2X3?16X3]?E[X2]?8E[X2]E[X3]?16E[X3]
?1?0?16?17。
E(Xi)?D(Xi)??E(Xi)??1/3，i?1,2,3。
222（2）根据题意，可得E(Xi)?1/2,E(X1?2X2?X3)2?2??E[X221?4X2?X3?4X1X2?2X1X3?4X3X2]
22?E[X1]?4E[X2]?E[X3]?4E[X1]E[X2]?2E[X1]E[X3]?4E[X3]E[X2] ?13?43?13?1?12?1?12。
1x24，解：因为
E(X)???xf(x,y)dxdyR?R1??dx?xdy0x?x?2/3，
E(Y)???R?Ryf(x,y)dxdy??dx?ydy01?xx?0，
E(XY)???xyfR?R(x,y)dxdy??dx?xydy0?x?0，
所以，Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0， 即，验证了X,Y不相关。 又因为，
?x?1dy?2x，0?x?1； fX(x)??f(x,y)dy????x???0,其他??? 35
概率论与数理统计及其应用习题解答
?1??1dx，?1?y?0??y??1??fY(y)??f(x,y)dx???1dx，0?y?1???y?0，其他????1