),fY(y)。 求Z?max{X,Y}的分布函数。 求概率P{1/2?Z?1}。
（3）
?2?3x?3x/2dy?3e，x?0??3e解：（1）fX(x)?；
?f(x,y)dy??0???0,其他??????3x/2dx，0?y?2??3e????0fY(y)??f(x,y)dx?????0，其他???（2）Z?max{X,Y}的分布函数为
?1/2，0?y?2?。 ???0，其他?FZ(z)?P{Z?z}?P{max{X,Y}?z}?P{X?z,Y?z}?P{X?z}P{Y?z}?FX(z)FY(z)?0x?0?0,?F(y)?因为 FX(x)??； ?y/2Y?3x1?e,x?0??1?y?00?y?2， y?2?0,?z?3zF(z)?F(z)F(z)?1?e,所以，Z?XY?2?3z?1?e,z?00?z?2。
z?2?12e?3??（3）P{1/2?Z?1}?FZ(1)?FZ(1/2)?14?14e?3/2。
33，（1）一条绳子长为2l，将它随机地分为两段，以X表示短的一段的长度，写出X的概率密度。 （2）两条绳子长度均为2l，将它们独立地各自分成两段，以Y表示四段绳子中最短的一段的长度，验证
Y的概率密度为
?2(l?y)/l2，0?y?l?。 fY(y)???0，其他?解：（1）根据题意，随机变量X~U(0,l)，所以概率密度为
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概率论与数理统计及其应用习题解答
?1?0?x?lfX(x)??l?其他?0。
（2）设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为X1,X2，则它们都在(0,l)上服从均匀分布。
Y?min{X1,X2}，其分布函数为
FY(y)?1??1?FX1(y)??1?FX2(y)??1?(1?y2l),0?y?l，
所以密度函数为
?2(l?y)/l2，0?y?lfY(y)??FY(y)?'???。 ??0，其他34，设随机变量X和Y的联合分布律为 （1） 求U?max(X,Y)的分布律。 （2） 求V?min(X,Y)的分布律。 （3）
求W?X?Y的分布律。 X Y 0 1 2 0 1/12 1/6 1/24 1 1/4 1/4 1/40 2 1/8 1/20 0 3 1/120 0 0 解：（1）U?max(X,Y)的分布律为
P{U?k}?P{max(X,Y)?k}?P{X?k,Y?k}?P{Y?k,X?k},k?0,1,2,3如，P{U?2}?P{X?2,Y?2}?P{Y?2,X?2}
?1/8?1/20?0?1/24?1/40?29/120，
其余类似。结果写成表格形式为
U 0 1 2 3 pk 1/12 2/3 29/120 1/120 （2）V?min(X,Y)的分布律为
P{V?k}?P{min(X,Y)?k}?P{X?k,Y?k}?P{Y?k,X?k},k?0,1,2
如，P{V?2}?P{X?2,Y?2}?P{Y?2,X?2}?0?0?0，
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概率论与数理统计及其应用习题解答
其余类似。结果写成表格形式为
U 0 1 27/40 13/40 pk （3）W?X?Y的分布律为
kP{W?k}?P{X?Y?k}??P{Xi?0?i,Y?k?i},k?0,1,2,3,4,5
2如，P{W?2}??P{Xi?0?i,Y?2?i}?1/24?1/4?1/8?5/12，
其余类似。结果写成表格形式为
W 0 1 2 3 1/12 5/12 5/12 1/12 pk
第3章 随机变量的数字特征
1，解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它
们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为
X 4 5 6 7
pkE(X)?15 1/5 1/5 1/5 2/5
(4?5?6?7?7)?29/5.
2，解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为
Y 4 5 6 7
pkE(Y)?129 4/29 5/29 6/29 14/29
.
(4?4?5?5?6?6?7?14)?175/293，解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为
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概率论与数理统计及其应用习题解答
p0?C10C3123?611，
p1?C2C10C31212?922，
p2?C2C10C31221?122。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为
E?611?0?922?1?122?2?12(台)。
4，解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为
Y 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12
16pk 16 16 16 16 136 136 136 136 136 136 得分的数学期望为
E?16(1?2?3?4?5)?136(7?8?9?10?11?12)?4912??(点)。
5，解：（1）根据X此计算得到??6~?(?)，可得P{X?5}??e5??5!??e66!?P{X?6}，因
，即X~?(6)。所以E(X)=6。
（2）根据题意，按照数学期望的公式可得
????E(X)??k?1(?1)k?1kP{X?k}??(?1)k?1k?1k6?kn22?6???2?k?1(?1)k?11k?6ln2?2，
因此期望存在。（利用了ln(1?x)??(?1)n?0?xnn?1,?1?x?1）（不符书上答案）
6，解：（1）一天的平均耗水量为
????E(X)????xf(x)dx????0xe2?x/3??9dx???0x2??3d(e?x/3)?0??02xe?x/3??3dx???2xd(e0?x/3)
?0??2e0?x/3dx?6（百万升）。
（2）这种动物的平均寿命为
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概率论与数理统计及其应用习题解答
????E(X)????xdF(x)??5xd(1?25x2??)??x51502dx?10（年）。
67，解：E(X)??xf(x)dx????1??42x(1?x)dx?025??7xd(1?x)02??
7101??7x(1?x)2?6?101??14x(1?x)dx?0?6???2xd?(1?x)???2x(1?x)701??2(1?x)07dx=1/4。
??28，解：E(X)??xf????(x)dx??2x(1?1/x)dx?(x?2lnx)1012221?3?2ln2。
9，解：E(X)??xf(x)dx?????13x2(1?x)dx?2?03x2(1?x)dx2
0??13x21(1?x)dx?2?03x2(1?x)dx?0。
2（对第一个积分进行变量代换x??y）
10， 解：
11E(sin?X2)?k??kk4?k?sin?C?p?(1?p)??24??k?0?314
2（不符书上答案） ?C4?p?(1?p)?C4?p?(1?p)?4p(1?p)(1?2p?2p)。
3311，解：R的概率密度函数为
a?1/a,f(x)???0,0?x?a其他，所以
E(V)??0?r63?1adr??a324。
4??2?0.3x?0.3x??12，解：E[g(X)]??g(x)f(x)dx????0x?0.3edx??16?0.3e4dx
?19(200?584e?1.2)（不符书上答案）
x?0?0,?13，解：因为Xi(i?1,2,?n)的分布函数为F(x)??x,0?x?1，所以可以
?1,x?1?求出Y1,Yn的分布函数为
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概率论与数理统计及其应用习题解答
?0,y?0?0,y?0F(y)???1?(1?y)nmin,0?y?1，
Fmax(y