2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．． 3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A?B)?P(A)?P(B) S?4?R2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A?B)?P(A)?P(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V?3?R3 4n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
kkn?kP(k?0,1,2,…n) n(k)?Cnp(1?p)
一．选择题 (1)复数
3?2i? 2?3i(A)i (B)?i (C)12-13i (D) 12+13i 【答案】A
【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.
【解析】
3?2i(3?2i)(2?3i)6?9i?4i?6???i. 2?3i(2?3i)(2?3i)13(2)记cos(?80?)?k,那么tan100??
kk1?k21?k2A. B. - C. D. -
22kk1?k1?k【答案】B
【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.
?2?2?2?【解析】sin80?1?cos80?1?cos(?80)?1?k,所以tan100???tan80
sin80?1?k2????. ?cos80k?y?1,?(3)若变量x,y满足约束条件?x?y?0,则z?x?2y的最大值为
?x?y?2?0,?(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
（4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则aaa456= (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 【答案】A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.
3 【解析】由等比数列的性质知a1a2a3?(a1a3)?a2?a2?5，
13a7a8a9?(a7a9)?a8?a?10,所以a2a8?50, 38所以a4a5a6?(a4a6)?a5?a?(a2a8)?(50)?52 (5)(1?2x)3(1?3x)5的展开式中x的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4
353163
(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种
(7)正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 A 2236 B C D 3333A1
D A
O
C B
D1 B1
C1
【答案】D
【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.
（8）设a=log32,b=In2,c=5?12,则
A a
1211, b=In2=,而log23?log2e?1,所以a
【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.
【解析】不妨设点P(x0,y0)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得
a2a2|PF1|?e[x0?(?)]?a?ex0?1?2x0，|PF2|?e[x0?)]?ex0?a?2x0?1.由余
cc弦定理得
|PF1|2?|PF2|2?|F1F2|2(1?2x0)2?(2x0?1)2?(22)20cos∠F,即cos60?, 1PF2=
2|PF1||PF2|2(1?2x0)(2x0?1)解得x0?253622,所以y0?x0?1?，故P到x轴的距离为|y0|? 222（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0
????????（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PA?PB的
最小值为
(A) ?4?2 (B)?3?2 (C) ?4?22 (D)?3?22
【答案】D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示：设PA=PB=x(x?0),∠APO=?,则∠APB=2?，PO=1?x2，sin??A 11?x2，
O P ????????????????x2(x2?1)x4?x222=2PA?PB?|PA|?|PB|cos2?=x(1?2sin?)=2x?1x?1B ????????x4?x2242，令PA?PB?y，则y?2，即x?(1?y)x?y?0，由x是实数，所以
x?1??[?(1?y)]2?4?1?(?y)?0，y2?6y?1?0，解得y??3?22或y??3?22.
????????故(PA?PB)min??3?22.此时x?2?1. （12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为