参考答案
一.填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上
1．?2? 2．18 3．1 4. a 4 8. (?3,?2)?(?1,0) 39.?1?a?610.(?2,?1) 11. m?0 12. f(0)?f(2)?2f(1) （ ?）13.① 14. [ln31,) 3e二.解答题: 本大题共6小题．共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.解：（1）A＝ ?x|x??1或x?2? ??????????????????????5分 B＝ ?x|x?a或x?a?1? ??????????????????????8分 （2）由AB?R得，a?1??1或 a?2 ????????????????12分 即 a??2或 a?2,所以 a??16. ,解 ???： 2??由 命 ????????????142?,??分 题 p为真： ??4?4m?0，得 m??1 ????????????4分 由(4?m)?3?9?4得m?4??3? 所 以 命 题 xx??x4??0 x?3?q为 真 时 ， m?0 ????????????8分 若命题p为真，命题q为假，则m??1且m?0得m?0 若命题p为假，命题q为真，则m??1且m?0得m??1 ?????????12分 所 以实数 m的取值范围为 (??,?1)(0,??) ???????????????14分 17. 解：（1）由条件得：f(?x)?f(x)?0，?log21?ax1?ax?log2?0， ?x?1x?1 2 化简得(a2?1)x2?0， 因此a2?1?0,a??1，但a?1不符合题意，因此a??1． ??????4分 （也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称，得出结果，同样给分） （2）判断函数f(x)在x?(1,??)上为单调减函数； 证明如下：设1?x1?x2??? f(x1)?f(x2)?log2x1?1x?1x?1x?1?x1?log22?x2?log21?2?(x2?x1) x1?1x2?1x1?1x2?1 01?x1?x2??? ?x2?x1?0,x1?1?0,x2?1?(x1?1)(x2?1)?(x1?1)(x2?1)?x1x2?x1?x2?1 又 0 ?x1x2?x1?x21??2(x2?x)1?(x1?1)(x2?1)?0,(x1?1)(x2?1)?0 ?x1?1x2?1x?1x2?1，log21???0，又x2?x1?0 x1?1x2?1x1?1x2?1?f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2) ?函数f(x)在x?(1,??)上为单调减函数； （也可以利用导数证明 分） ??????????????????9分 （3）不等式为m?f(x)?2恒成立，?m?[f(x)?2x]min x，对照给 ?f(x)在x?[2,3]上单调递减，2x在x?[2,3]上单调递增， ?f(x)?2x在x?[2,3]上单调递减， 当 x?3时取得最小值为 ?10， ?m?(??,?10)。 ????????????14分 ?1?18. 解：（1）当35≤x≤40时，由题意日销售量为k1?? ?e? 3 x 售价为40元时，日销售量为10 件，故k1?1????e?40=10， k1=10e40 ??????3分 当40≤x≤50时，由题意日销售量为售价为 40 k2 x210 件，故 元时，日销售量为 k2=10，1600k2?16000 ??????6分 所以该商品的日利润 ?10e40(x?30?a)x??eL(x)???(x?30?a)16000?x2?35?x?40 ??????8分 40?x?5010e40（2）当35≤x≤40时， L(x)?(x?30?a)x e31?a?x L?(x)?10e40，4≤a≤6，35?31?a?37， ex因为35≤x≤40，令L?(x)?0得x?a?31 当35?x?a?31时L?(x)?0 当a?31?x?40时L?(x)?0 故 Lmax(x)?L(a?31)?10e9?a ?????????????????????11分 当40?x?50时，L(x)?(x?30?a)16000 x216000(x2?(x?30?a)2x)显然L(x)在40?x?50时L?(x)? 4x16000(?x2?(60?2a)x) ? x416000(60?2a?x) ??0 x3所以L(x)在40?x?50时为增函数 故 40?x?50时 Lmax(x)?L(50) ????????????????????13分 又L(a?31)?10e9?a?10e3 L(50)?3232?16 (20?a)?55故 L(a?31)?L(50) ????????????????????15分 4 于是每件产品的售价x为a?31时才能使L（x)最大， L（x)的最大值为10e9?a ??? 16分 19. 解： （1）命题p为真命题； 充分性：若y?f(x?a)?b为奇函数，则f(a?x)?b??f(a?x)?b 即f(a?x)?f(a?x)?2b 设M(x,y)为f(x)图像上任一点，则M关于(a,b)的对称点为N(2a?x,2b?y) f(2a?x)?f(a?(a?x))?2b?f(a?(a?x)) ?N在y?f(x)图像上，即f(x)的图像上，即f(x)的图像关于(a,b)对称 必要性：若y?f(x)的图像关于(a,b) 设M(x,y)为f(x)图像上任一点，则由上知：f(2a?x)?2b?f(x) 令x取x?a，则f(a?x)?f(a?x)?2b 即f(?x?a)?b??f(a?x)?b ?y?f(x?a)?b为奇函数 综上命题为真 ????????????????5分 （2）设函数f(x)?g(x?a)?b为奇函数， 则f(x)?(x?a)3?3(x?a)2?b ?x3?(3a?3)x2?(3a2?6a)x?a3?3a2?b ∵f(x)?g(x?a)?b为奇函数，则?3a?3?0?a?1，即 ?32?a?3a?b?0?b??2?32 由命题p为真命题，则函数g(x)?x?3x的图像对称中心为 (1,?2) ?????10分 （3）ⅰ.当l:x?a时“存在实数a和b，使得函数y?f(x?a)?b是偶函数”是“函数y?f(x)的图像关于直线l成轴对称图形”的充要条件；（证明方法参考（1）） ⅱ. 当l不为x?a时“存在实数a和b，使得函数y?f(x?a)?b是偶函数”是“函数 y?f(x)的图像关于直线l成轴对称图形”的充分不必要条件 ?????????????16分 20. 函数f(x)的定义域为(0.??) Ⅰ ） 由 题 意 x?0， f?(x)?a1 ??????????????????2分 ?xx21 a （1）当a?0时，由f?(x)?0得x?1 所以f(x)的递减区间(0,) a 由f?(x)?0得x?1 a5 ?f(x)的递增区间为 1(,??) ??????????????????4分 a （2）当a?0时 a1??0恒成立 xx2 ?f(x)的递减区(0,??) ??????????????????6分 由于x?0，?f?(x)?Ⅱ ） 对 任 意 正 实 数 间为 x，成立即 2a?alnx?1x恒成 立 ?????????????7分 因为a?0由Ⅰ可知 当x? 11时，函数f(x)?alnx?有最小值 ax11f()?aln?a?a?alna ??????????????????9分 aa 所以2a?fmin(x)?a?alna 解之得：0?a? 故所数的取a?1??0,? ??????????????????11分 ?e?x?xx?x2Ⅲ）f(12)?aln12? 22x1?x2 f(x1)?f(x2)x?x2?alnx1x2?1 22x1x21 e求实 值范围是 x1?x2f(x1)?f(x2)x1?x2(x1?x2)2 ?????????12分 ?f()??aln?222x1x22x1x2(x1?x2) （1）显然当 x1?x2时， f(x1?x2f(x1)?f(x2) ?????????13分 )?22 （2）当x1?x2时，因为x1?0,x2?0且a?0 x1?x2?2x1x2 ?x1?x22x1x2?1 ?alnx1?x22x1x2?0 6