黑龙江大学数学学院2010届毕业论文
拟合及插值问题研究
摘 要 本文讨论了插值函数的基本概念及线性插值和多项式插值存在唯一性.主要介绍了基于基函
数的拉格朗日插值、基于均差的牛顿插值和基于导数埃尔米特插值及三次样条插值.曲线拟合及基于最小二乘拟合的多项式插值和正交多项式插值.
关键词 拉格朗日插值 牛顿插值 曲线拟合 最小二乘法
1 引 言
函数常被用来描述客观事物变化的内在规律（数量关系）.但在生产和科研实践中遇到的大量函数,却是复杂函数.对于实际中的这些复杂函数,我们希望能构造一个能反映函数本身的特性,又便于计算的简单函数,近似代替原来的函数.
解决上述问题的方法有两类:一类是对于一组离散点(xi,f(xi)),(i?0,1,2,?,n),选定一个便于计算的函数形式p(x),如多项式函数、分段性函数、有理函数、三角函数等,要求简单函数p(x)满足p(xi)?f(xi),(i?0,1,2,?,n).由此确定函数p(x)作为f(x)的近似函数,这就是插值方法.令一类方法在选定近似函数p(x)的形式时,不要近似函数p(x)必须满足p(xi)?f(xi),(i?0,1,2,?,n),而只要在某种意义下(最小二乘法原理),使近似函数
p(x)在这些点上的总偏差量最小,这类方法称为曲线拟合.
2 插值问题与插值多项式
定义1 设y?f(x)为区间[a,b]上函数，x0,x1,?,xn为[a,b]上n?1互不相同的点，
?为给定的某一函数类，若?上有函数?(x)，满足
?(xi)?f(xi),i?0,1,2,?,n.
则称?(x)为f(x)关于节点x0,x1,?,xn在?上的插值函数，称点x0,x1,?,xn为插值节点；称(xi,f(xi),i?0,1,2,?,n为插值型值点，简称型值点或插值点;f(x)称为被插函数.
定义2 已知函数f(x)在区间[a,b]上的n?1个点的值，即已知xi?[a,b]，寻求一个解析形式的函数?(x)，使之满足
?(xi)?yi, i?0,1,2,?,n.
则称xi为插值结点,f(x)为被插值函数，?(x)为插值函数，称条件
第 1 页 共 15 页
黑龙江大学数学学院2010届毕业论文
?(xi)?yi(i?0,1,2,?,n)为插值条件，若?(x)为次数不超过n的多项式，即
pn(x)??(x)，则
pn(x)?a0?a1x?a2x2???anxn.
其中ai(i?0,1,?,n)为实数，则称pn(x)为插值多项式.
定理1在n?1个相异结点xi(i?0,1,?,n)满足插值条件p(xi)?yi(i?0,1,?,n)而次数不高于n的多项式p(x)是唯一的.
2.1 拉格朗日插值多项式
给定(xi,yi)(i?0,1,?,n)，构造次数不超过n的拉格朗日插值多项式
Ln(x)??li(x)f(xi)???i?0i?0j?0j?innnx?xif(xi).
xi?xj称Ln(x)为f(x)关于x0,x1,?,xn的n次拉格朗日插值多项式，它满足
Ln(xi)?f(xi),i?0,1,?,n.
其中li(x)称为x0,x1,?,xn为结点的n次插值函数，它满足
?1,i?j li(xj)??ij??0,i?j,i,j?0,1,?,n?li(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xi?1)(x?xi?1)?(x?xn).
(xi?x0)(xi?x1)?(xi?xi?1)(xi?xx?1)?(xi?xn)设Ln(x)是[a,b]上关于(xi,yi)(i?0,1,?,n)的n次插值多项式，f(x)在[a,b]上有
n阶连续导数，f(n?1)(x)在[a,b]上存在，则其余项为
f(n?1)(?)nRn(x)?f(x)?Ln(x)??(x?xi),??[a,b].
(n?1)!i?0例1 已知函数表 x 0 0.5 -0.75 1 0 1.5 1.25 2 3 2.5 2.25 f(x) -1 试证明由此构造的拉格朗日插值多项式是一个二次多项式. 解 (0,?1),(1,0),(2,3)构造L2(x)，得
第 2 页 共 15 页
黑龙江大学数学学院2010届毕业论文
L2(x)?(x?1)(x?2)(x?0)(x?1)?(?1)??3
(0?1)(0?2)(2?0)(2?1)2 ?x?1
将其余结点代入L2(x)得
L2(0.5)??0.75,L2(1.5)?1.25,L3(2.5)?5.25
可知L2(x)?x2?1满足所有插值条件.根据唯一性定理，L2(x)?x2?1就是所构造的拉格朗日插值多项式.
2.2 牛顿插值
定义3 零阶均差 f[xi]?f(xi)
一阶均差 f[xi,xj]?f[xi]?f[xj]xi?xj?f(xi,xj)xi?xj.
.
二阶均差f[xi,xj,xk]?f[xi,xj]?f[xj,xk]xi?xk2阶均差是1阶均差的均差，可递推k阶均差，得
f[xi,xi?1,?,xi?k]?2.2.1 均差（差商）的性质
f[xi,xi?1,?,xi?k?1]?f[xi?1,xi?2,?,xi?k].
xi?xi?k（Ⅰ）k阶均差与函数值的关系为
f[x0,x1,?,xk]??j?0nf(xj)?(xi?0i?jn.
j?xi)（Ⅱ）均差关于所含结点是对称的，若i0,i1,?,ik为0,1,?,k的任意排列，则
f[x0,x1,?,xk]?f[xi0,xi1,?,xik]
即均差值与结点次序无关.
2.2.2 牛顿插值多项式
给定(xi,yi)(i?0,1,?,n)，次数不超过n的牛顿插值多项式为
Nn(x)?f[x0]?f[x0,x1](x?x0]?f[x0,x1,x2](x?x0)(x?x1)
第 3 页 共 15 页
黑龙江大学数学学院2010届毕业论文
???f[x0,x1,?,xn](x?x0)(x?x1)?(x?xn?1).
牛顿插值多项式Nn(x)的系数可由以下均差表求得.
x x0x1x2x3?xn f[xi] f[x0]?y0f[x1]?y1f[xi,xj] f[x0,x1]f[x1,x2]f[xi,xj,xk] f[x0,x1,x2]f[x1,x2,x3] f[x0,?,xn] ? f[x0,?,xn] ? f[x2]?y3 f[x2,x3] ???f[xn?2,xn?1,xn]f[xn]?ynf[xn?1,xn]2.2.3 插值余项
Rn(x)?f[x,x0,x1,?,xn]?(x?xi).
i?0n由插值多项式的唯一性知Ln(x)?Nn(x)，因此，牛顿插值与拉格朗日插值有相同的余项表达式，即
f(n?1)(?)nRn(x)?f(x)?Nn(x)?(x?xi) ?(n?1)!i?0?f[x,x0,?,xn]?(x?xi),??[a,b]
i?0nf(n?1)(?)由此有f[x,x0,?,xn]?.
(n?1)!例2 已知函数表如下. x 0 0.2 0.3965 0.4 0.5881 0.6 0.7721 0.8 0.9461 f(x) 0.1995 试求方程f(x)?0.4500的根的近似值. 解 采用牛顿插值，作均差表如下：
f(xi) 0.1995 0.3965 0.5881 0.7721 0.9461 xi 0 0.2 0.4 0.6 0.8 一阶均差 0.015228 1.043841 1.086957 1.149425 二阶均差 0.073631 0.114792 0.174492 三阶均差 0.071884 0.108624 四阶均差 0.049209 第 4 页 共 15 页
黑龙江大学数学学院2010届毕业论文
按4次牛顿插值公式可得 x?0?1.015228(0.4500?0.1995)
?0.073631?(0.4500?0.1995)(0.4500?0.3965)
?0.71884?(0.4500?0.1995)(0.4500?0.3965) ?(0.4500?0.5881)?0.049209?(0.4500?0.1995) ?(0.4500?0.3965)(0.4500?0.5881)(0.4500?0.7721) ?0.255405.
2.2.4 等距结点的牛顿插值
若插值结点为等距结点，即xi?x0?ih(i?0,1,?,n)，h称为步长，
fi?f(xi)(i?0,1,?,n)表示f在xi上的值，则有等距结点的牛顿插值公式.
定义4 令?fi?fi?1?fi,?fi?fi?fi?1分别称为f在点xi的一阶向前差分和一阶向后差分。由此可递推n阶向前差分和n阶向后差分为
?nfi??n?1fi?1??n?1fi,?nfi??n?1fi??n?1fn?1.
并规定零阶差分为?0fi??0fi?fi 均差与差分有以下关系，即
f[xi,xi?1,?,xi?m]?1?mfi,m?1,2,3,?,n. mm!h1f[xi,xi?1,?,xi?m]??mfi,m?1,2,3,?,i. mm!h差分表 fi f0f1f2 f3??(?) ?2(?2) ?2f0(?2f2) ?3(?3) ?3f0(?3f2)? ? ? ?f0(?f1)?f1(?f2)?f2(?f3)??f1(?f3) ?222.2.5 牛顿前插、后插插值公式及其余项
牛顿前插公式为
第 5 页 共 15 页