黑龙江大学数学学院2010届毕业论文
Nn(x0?th)?f0?t?f0?其余项为
t(t?1)2t(t?1)?(t?n?1)n?f0????f0. 2!n!Rn(x)?f(x)?Nn(x0?th)
?t(t?1)?(t?n)n?1hf(?),??(x0,xn).
(n?1)!t(t?1)2t(t?1)?(t?n?1)n?fn????fn. 2!n!牛顿后插公式为
Nn(xn?th)?fn?t?fn?其余项为
Rn(x)?f(x)?Nn(xn?th)
?t(t?1)?(t?n)n?1(n?1)hf(?),??(x0,xn).
(n?1)!例3 设x0?1.00,h?0.05，给出f(x)?x在xi?x0?ih,(i?0,1,?,6)的值，试用3
次等距结点插值公式求f(1.01)及f(1.28)的近似值. 解 前插公式
Nn(x0?th)?f0?t?f0?t(t?1)2t(t?1)?(t?n?1)n?f0????f0 2!n!1f(1.01)?N3(1.01)?N3(1.00??h)
51 ?1.00000?0.2?0.02470??0.2?(0.2?1)(?0.00059)
21 ??0.2?(0.2?1)?(0.2?2)(0.00005)?1.00499.
6后插公式
Nn(xn?th)?fn?t?fn?t(t?1)2t(t?1)?(t?n?1)n?fn????fn 2!n!f(1.28)?N3(1.28)?N3(1.30?0.4?h)
11?1.14017?(?0.4)?0.02214?(?0.4)?0.6?(?0.00045)?(?0.4)?0.6?1.6?0.0000326
?1.13137.
2.3 埃尔米特插值多项式
插值多项式除了满足插值条件外，还要求与被插函数在结点处的导数值相等，即有
H(xi)?yi,H'(xi)?mi,i?0,1,?,n.
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上面等式共有2n?2个条件可唯一确定次数不超过2n?1次的多项式H2n?1(x)，称之为埃米尔特插值多项式，它用插值基函数可表示为
H2n?1(x)??[yi?i(x)?mi?i(x)]
i?0n其中，?i(x)和?i(x)(i?0,1,?,n)是插值基函数.
2.3.1 插值基函数
?i(x)和?i(x)是满足下列条件
?i(xj)??ij,?i'(xj)?0?i(xj)?0,?(xj)??ij的2n?1次多项式. 容易求得
'i i,j?0,1,?,n
?i(x)?[1?2(x?xi)?j?0j?in1]li2(x)
xi?xj?i(x)?(x?xi)li2(x)
其中，li(x)是拉格朗日插值基函数.
若f(x)在插值区间(a,b)内存在2n?2阶导数，则2n?1次艾尔米特插值多项式
H2n?1(x)的余项为
f(2n?2)(?)2R(x)?f(x)?H2n?1(x)??n?1(x),??(a,b)
(2n?2)!其中
?n?1(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)
特别地，当n?1时，结点为x0,x1满足条件
H(xi)?yi,H'(xi)?mi?yi',i?0,1
的艾尔米特插值多项式为
H3(x)?[y0(1?2x?x0x?x12'?y0(x?x0)]()
x1?x0x0?x1x?x02x?x1)?y1'(x?x1)]()
x0?x1x1?x0?[y1(1?2第 7 页 共 15 页
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f(4)(?)R(x)?(x?x0)2(x?x1)2,??(x0,x1).
4!例4 求f(x)?x4在[a,b]上的分段3次埃尔米特插值函数Ih(x)，并估计误差. 解 令h?b?a ，分点xi?a?ih,i?0,1,?,n n当x?[xk,xi?1]时，有
4IK(x)?xk(1?2x?xkx?xk?12x?xk?1x?xk24)()?xk(1?2)()
xk?1?xkxk?xk?1xk?xk?1(xk?1?xkx?xk?12x?xk23)?4xk(x?x)(),k?0,1,?,n?1 ?1k?1xk?xk?1xk?1?xk ?4xk(x?xk)(误差估计
3R3(x)?maxa?x?bf(4)(x)4!h2h2h4. max(x?xk)(x?xk?1)?()()?xk?x?xk?1221622.4 三次样条插值
定义5 设在[a,b]上取n?1个互不相同的结点，即
a?x0?x1???xn?b
给定各结点上的函数值f(xi)?yi(i?0,1,?,n)，如果函数s(x)在区间[a,b]上满足下列条件，则称之为三次样条插值函数，简称三次样条： ①s(xi)?yi， i?0,1,?,n；
②在每个小区间[xi,xi?1]上，s(x)都是次数不超过三次的多项式si(x)； ③s(x)?C[a,b].
22.4.1 三次样条插值函数的计算.
①由给定的数据(xi,yi),步长hi,求出
?i?hi?1y?yiyi?yi?16,?i?(i?1?).
hi?hi?1hi?hi?1hi?1hi②由追赶法解三对角方程组（三弯矩方程组），当自然边界条件m0?m1?0时，有
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a1?2?(1?a)2a22??(1?a3)2????????a3???(1?an?1)2???m1???0??m?????2??1??m3?????
???????????mn?1???n?1?????''当边界条件为s'(x0)?y0时，有 ,s'(xn)?yna0?2??m0???0??(1?a)2??m????a11???1??1?????????? ?????????(1?a)2an?1n?1????????????an2?????mn???n?其中?0?6y1?y06'yn?yn?1'(?y0),?n?(yn?) h1h1hnhn③由①求出mi代入Ti式，即
si(x)?mi?1mym(xi?x)3?i(x?xi?1)3?(i?1?i?1hi)(xi?x) 6hi6hihi6yimi?hi)(x?xi?1) hi6 ?(④区间[a,b]上的三次样条函数
?s1(x),x?[x0,x1]?s(x),x?[x,x]?12s(x)??2
????sn(x),x?[xn?1,xn]''''自然边界条件：已知s''(x0)?y0，特殊情形s''(x0)?s''(xn)?0 ,s''(xn)?yn''导数边界条件：s'(x0)?y0. ,s'(xn)?yn2.4.2 三次样条插值收敛性
设f(x)?c[a,b],s(x)为三次样条插值函数，则有估计式
4f(k)?s(k)其中：
??ckf(4)?h4?k， k?0,1,2.
h?maxhi,hi?xi?1?xi0?i?n?1第 9 页 共 15 页
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(i?0,1,?,n?1),c0?513,c1?,c2?,f384248??maxf(x).
a?x?b可见，当h?0时，三次样条插值函数s(x)及其一阶导数s'(x)、二阶导数s''(x)分别一致收敛于被插函数f(x)、f'(x)及f''(x). 例5 已知函数f(x)的数据表：
x y 0 -8 1 -7 2 0 3 19 4 56 求三次自然样条函数s(x)并求s(2.2). 解 已知步长h?xi?1?xi?1，得
?i?h1?,i?1,2,3 2h2?i?3(yi?1?2yi?yi?1)
继而得 ?1?18,?2?36,?3?54 由上述可得三对角方程组
??2?1??2???12212??m1??18??????1???????m2???36? 2????????2??????54???m3???解得 m1?6.4285,m2?10.2857,m3?24.4285 于是
s1(x)?1.0714x3?0.0714x?8
s2(x)?1.0714(2?x)3?1.7143(x?1)3?8.0714(2?x)?1.7143(x?1) s3(x)?1.7143(3?x)3?4.0714(x?2)3?1.7143(3?x)?14.9286(x?2) s4(x)?4.0714(4?x)?14.9286(4?x)?56(x?3) 由此得三次样条函数
3?s1(x),0?x?1?s(x),1?x?2?2s(x)??
s(x),2?x?3?3??s4(x),3?x?4第 10 页 共 15 页